4. Колебательное движение. @

4.1. Основные характеристики гармонического колебания. @

Колебательным движением называется процесс, при котором система мно­го­кратно от­клоняясь от своего состояния равновесия, ка­ж­дый раз вновь возвраща­ется к нему. Промежуток времени Т, спустя который процесс полностью повторяет­ся, называется пе­риодом колебания.

Колебательные движения широко рас­про­странены в природе и технике. Качание ма­ят­ника часов, вибрация натянутой струны, мор­ские при­ливы-отливы, тепловые колебания ио­нов кристал­лической решетки твердого тела, переменный электрический ток, свет, звук. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различа­ют свободные незатухающие (или собственные) колебания, затухающие колебания, вынужденные ко­ле­бания, автоколе­ба­ния.

Свободные колебания происходят в систе­ме, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения рав­новесия. Простейшим свободным периодическим механическим колебанием является гармониче­ское колебательное движение точки (тела), при котором зависимость смещения из положения равновесия S от времени t описывается уравнениями:

Рис.4.1. Зависимости: а) смещения, б) скорости, в) ускорения гармонического колебания от времени.

или ,

А - амплитуда колебаний или максимальное смещение из положения равновесия, ₀ - круговая (циклическая) частота, - фаза колебаний в момент времениt,  - начальная фаза колебаний или фаза в момент времени t=0. Такие колебания происходят под действием так называемых квазиупру­гих сил. Квазиупру­гие силы - это силы, имеющие такую же закономерность, как и сила упругости.

Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колеба­ния, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер близкий к гармони­ческим; 2) различные периодические процессы можно представить как сложение не­скольких гармонических колебаний.

Через время Т фаза колебания получит приращение и колебательный про­цесс повторяется:, откуда.Число полных колебаний в единицу времени есть частота колебаний , для нее вытекают соотношения ,.Так как значения синуса и косинуса изменяются в пределах от +1 до -1, S при­нимает значения от +А до -А.

4.2. Скорость и ускорение при гармоническом колебании. @

Скорость гармонического колебания есть первая производная от смещения S по времени t. Пусть , тогда

. Скорость сдвинута по фазе относительно смещения на /2. Так как максимальное значе­ние косинуса равно 1, максимальное значение скорости равно .

Ускорение а гармонического колебания есть первая производная от скорости v по времени t.

. Ускорение сдвинуто по фазе относительно смещения на . Так как максимальное значе­ние синуса равно 1, то максимальное значение модуля ускорения равно . На рис.4.1. представлены графики зависимостиS, v и a от времени. Для удобства изображения начальная фаза принята равной нулю =0, т.е. .

Связь ускорения и смещения можно получить, если в формуле для ускорения множитель заменить наS, получим .

Сила, действующая на колеблющуюся матери­альную точку массой m по II за­кону Ньютона равна

, .

Отсюда следует, что сила пропорциональна смеще­нию материальной точки и про­ти­воположна ему по направлению, такую силу называют квазиупругой. Согласно полученному выражению для силы можно сказать, что гармоническое колебание – это колебание, которое происходит при действии на тело квазигармонической силы.

Так как. , тои.

Полученное выражение называют дифференциальным урав­нением гармонических колебаний, с точки зрения математики это линейное однородное дифференциальное урав­нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решениями являются: либо.

Кинетическая энергия материальной точки при гармоническом колебании равна

Потенциальная энергия материальной точки при гармоническом колебании под действием упру­гой силы, согласно ее определению, равна

Полная энергия колеблющейся точки

П

Рис.4.2. Пружинный ма­ятник.

олная энергия не зависит от времени. Следовательно, при гармонических ко­лебаниях выполняется закон сохранения механической энергии.