2.7. Кинетическая и потенциальная энергии. @

Полная механическая энергия Е_м складывается из кинетической Е_к и потенциаль­ной Е_п энергий Е_м = Е_к + Е_п .

Кинетическая энергия Е_к – это энергия движущегося тела, она равна работе, которую могло бы совершать тело при торможении до полной остановки Е_к=А_тор. Соответственно, эта работа чис­ленно равна работе внешней силы по увеличению скорости тела от 0 до т.е. Е_к=А_{разгона}. Рассчитаем эту работу, учитывая, что работа внешней силы F над телом на малом участке перемещения dr равна (здесь использован второй закон Ньютона, соотношение и законы дифференцирования)

.

Так как по определению , то получаем.

Е

Рис.2.10. Зависимость потенциальной энергии тела от расстояния до поверхности Земли.

сли система состоит изn движущихся точек (тел), то ее полная кинетическая энергия равна

. Если система обладает только кинетической энергией, то изменение кинетической энергии тела равно работе сил, действовавших на тело во время движения                                               .

Потенциальная энергия Е_п – это энергия взаимодействия тел системы, определяемая вза­имным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия - ве­ли­чина, зависящая от выбора начального положения, при котором Е_п=0, т.е. она величина относительная. Если работу совершают консервативные силы, то происходит изменение Е_п системы на величину . Конкретный вид зависимости Е_п от расположения тел системы связан с характером сил взаимодействия тел.

Рассмотрим два примера:

Рис.2.11. Зависимость потенциальной энер­гии упруго сжатой пружины от величины деформации.

1). Определим Е_п тела, поднятого над землей т.е. энергию взаимодействия этого тела с планетой Земля. Известно, что на тело действует консервативная сила тяжести, при небольших вы­сотах h она мало меняется и считается по формуле P = mg. При паде­нии тела сила тяжести совершает работу A=mgh, при этом потенциальная энергия тела уменьшается ровно на эту величину. Если Е_п1- потенциальная энергия тела, поднятого над землей, а Е_п2 - потенциальная энергия тела на по­верхности земли, кото­рую принято считать равной нулю, то из связи работы и изменения энергии, получим . График зависи­мости Е_п от h представлен на рис.2.10. Ясно, что Е_п10 при h0, т.е. над землей и Е_п20 при h0, т.е. ниже уровня земли.

2). Определим потенциальную энергию упруго де­формированной пружины. Из экспериментов известно, что при сжатии (растяжении) пружины в ней возникает сила упругости . Знак минус показывает, что сила упру­гости направлена в сторону противоположную деформации. Работа этой силы затрачивается на увеличение потенциаль­ной энергии пружины т.е.A=E_п= Е_п2- Е_п1 . Так как dA=Fdx=kxdx, то (Е_п недеформированной пружины считается равной нулю). Сле­довательно , на рис.2.11 представлен ее график.

2.8. Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы. @

Так как работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии, то или. Высшая математика позволяет выразить малое изменение любой функции (дифференциал функции) через частные производные от этой функции по ее аргументам. Конкретно для дифференциала потенциальной энергии, зависящей от координат, можно получить . Если подставить это выражение в , то после записи левой части через проекции силы на оси координат, получим

.

Это выражение должно быть справедливо при любых малых перемещениях dx, dy, dz, что может быть только тогда, когда выполняются соотношения .

В результате получаем связь между Е_п и F, в векторной форме ее записывают сокращенно в виде

,

где используют математический символ для вектора, который называется градиентом скаляр­ной величины Е_п и обозначается grad (Е_п) .