- •МЕХАНИКА МАШИН
- •1.1. Структура машинного агрегата
- •1.4. Управление движением машинного агрегата
- •СТРОЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ
- •2.1. Основные определения
- •2.2. Кинематические пары и соединения
- •2.5. Структурный синтез механизмов
- •2.6. Классификация механизмов
- •КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЗМОВ
- •3.1. Основные понятия
- •tgfa
- •3.6. Примеры графического исследования механизмов
- •pc = fivVB\ Р'Ь" = цайв', Ь"Ь'= цаагВ-
- •3.7. Кинематические характеристики плоских механизмов с высшими парами
- •3.8. Кинематические характеристики пространственных механизмов
- •3.9. Метод преобразования декартовых прямоугольных координат
- •4.1. Динамическая модель машинного агрегата
- •4.2. Приведение сил
- •4.3. Приведение масс
- •4.8. Неравномерность движения механизма
- •JTnp,
- •4.10. Динамический анализ и синтез с учетом влияния скорости на действующие силы
- •5.1. Динамическая модель машинного агрегата
- •5.2. Установившееся движение машинного агрегата
- •5.3. Исследование влияния упругости звеньев
- •СИЛОВОЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМОВ
- •6.1. Основные положения
- •6.4. Силовой расчет механизма с учетом трения
- •6.5. Потери энергии на трение. Механический коэффициент полезного действия
- •ВИБРОАКТИВНОСТЬ И ВИБРОЗАЩИТА МАШИН
- •7.1. Источники колебаний и объекты виброзащиты
- •7.3. Анализ действия вибраций
- •7.6. Статическая и динамическая балансировка изготовленных роторов
- •Щ = у/g sina/<5CT,
- •7.8. Демпфирование колебаний. Диссипативные характеристики механических систем
- •7.9. Динамическое гашение колебаний
- •тт(р - рт) = mjyE.
- •7.11. Ударные гасители колебаний
- •7.12. Основные схемы активных виброзащитных систем
- •ТРЕНИЕ И ИЗНОС ЭЛЕМЕНТОВ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАР МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
- •8.1. Виды и характеристики внешнего трения
- •8.2. Основные понятия и определения, используемые в триботехнике
- •8.3. Механика контакта и основные закономерности изнашивания
- •8.4. Методика расчета износа элементов кинематических пар
- •МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СХЕМ ОСНОВНЫХ ВИДОВ МЕХАНИЗМОВ
- •МЕТОДЫ СИНТЕЗА МЕХАНИЗМОВ С ВЫСШИМИ ПАРАМИ
- •9.1. Основные понятия и определения
- •9.2. Основная теорема зацепления
- •9.3. Скорость скольжения сопряженных профилей
- •9.4. Угол давления при передаче движения высшей парой
- •9.5. Графические методы синтеза сопряженных профилей
- •9.7. Производящие поверхности
- •МЕХАНИЗМЫ ПРИВОДОВ МАШИН
- •10.1. Основные понятия и определения
- •10.2. Строение и классификация зубчатых механизмов
- •10.4. Планетарные зубчатые механизмы
- •ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ЗУБЧАТАЯ ПЕРЕДАЧА
- •11.2. Эвольвента, ее свойства и уравнение
- •11.3. Эвольвентное прямозубое колесо
- •11.4. Эвольвентная прямозубая рейка
- •11.5. Эвольвентное зацепление
- •11.8. Подрезание и заострение зуба
- •11.9. Эвольвентная зубчатая передача
- •11.10. Качественные показатели зубчатой передачи
- •11.11. Цилиндрическая передача, составленная из колес с косыми зубьями.
- •11.12. Особенности точечного круговинтового зацепления Новикова
- •ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
- •12.1. Коническая зубчатая передача
- •МЕХАНИЗМЫ С НИЗШИМИ ПАРАМИ
- •13.1. Основные этапы синтеза
- •13.4. Синтез четырехзвенных механизмов по двум положениям звеньев
- •13.5. Синтез четырехзвенных механизмов по трем положениям звеньев
- •13.6. Синтез механизмов по средней скорости звена и по коэффициенту изменения средней скорости выходного звена
- •tijivu) < [tfj]-
- •КУЛАЧКОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ
- •14.1. Виды кулачковых механизмов и их особенности
- •14.2. Закон перемещения толкателя и его выбор
- •sinx4
- •sinx2 = [(*2 “ Vj3)/f34]sm03;
- •14.5. Определение габаритных размеров кулачка по условию выпуклости профиля
- •14.6. Определение координат профиля дисковых кулачков
- •14.7. Механизмы с цилиндрическими кулачками
- •МЕХАНИЗМЫ С ПРЕРЫВИСТЫМ ДВИЖЕНИЕМ ВЫХОДНОГО ЗВЕНА
- •15.1. Зубчатые и храповые механизмы
- •15.2. Мальтийские механизмы
- •15.3. Рычажные механизмы с квазиостановками
- •УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ СИСТЕМЫ МЕХАНИЗМОВ
- •16.2. Циклограмма системы механизмов
- •МАНИПУЛЯЦИОННЫЕ МЕХАНИЗМЫ
- •17.3. Задачи о положениях манипуляторов
- •17.4. Задачи уравновешивания и динамики
- •Glos
Г л а в а в
СИЛОВОЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМОВ
При движении механизма в его кинематических парах действуют силы взаимодействия между звеньями. Знание этих сил необходимо для расчета звеньев механизма на прочность, жесткость, вибростойкость, из носоустойчивость, для расчета подшипников на долговечность, а также других расчетов, выполняемых при проектировании механизма. Напом ним, что силы в кинематических парах являются внутренними силами по отношению к механизму в целом (см. § 1.3). Определение внутренних сил и в ряде задач — сил и пар сил, приложенных к механизму извне, составляет содержание силового расчета.
6.1. Основные положения
Рассмотрим силовой расчет плоских механизмов. При мем, что механизм имеет плоскость симметрии, параллельную плоскости его движения, в которой действуют все приложен ные силы. Указанному условию отвечает очень большое число механизмов энергетических, технологических, транспортных машин и различных приборов.
Силовой расчет следует выполнять с учетом ускоренного движения звеньев, так как их ускорения в современных быст роходных машинах значительны. Неучет ускоренного движе ния звеньев вызовет недооценку нагружающих сил, что может привести к ошибкам в дальнейших инженерных расчетах.
Чтобы учесть ускоренное движение звеньев, применим ме_ тод кинетостатики, условно приложив к каждому подвижному звену механизма главный вектор Фг и главный момент сил инерции. Эти силовые факторы являются внешними.
Запишем для любого звена с номером г три уравнения ки~ нетостатики:
t |
Fx + Ф,х — 0 ; |
( 6 .1 ) |
|
|
|
Y ^ F y + *iy = 0 -, |
(6.2) |
|
г |
|
|
2 2 M0 (F) + 2 2 M + Mo (* i) + Мфi = о, |
(6.3) |
|
г |
i |
|
где M Q — момент силы F относительно точки О. Два алгеб раических уравнения (6 .1 ) и (6 .2 ) могут быть заменены одним эквивалентным векторным уравнением сил:
2 2 р + ф{ = о. i
Главный вектор Ф; и главный момент Мф{ сил инерции звена г определяют по уравнениям
Ф» — ~ miaSi> Мфх — |
(6*4) |
Уравнение Мф,- = —Jis^i показывает, что главный вектор сил инерции Ф, приложен к центру масс 5,- звена г.
Отметим, что сила Ф, и пара сил Мф,- к звену i в дей ствительности не приложены. Главный вектор Ф,- и главный момент Мф; сил инерции не имеют никакого физического со держания и в уравнениях (6.1) — (6.3) выполняют роль лишь математических величин, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения звеньев. Как известно из те оретической механики, этими математическими величинами можно условно пользоваться как силовыми факторами.
Силы в кинематических парах, являющиеся искомыми, находят из уравнений (6 .1 ) — (6 .3 ), в которых они содержатся в составе сумм £ Fx, Y ,Fy, £ MQ {F). Поскольку Ф,г , Ф;у,
г |
i |
г |
Мф{ зависят от ускорений, искомые силы также зависят от ускорений. Следовательно, для проведения силового расчета надо знать закон движения механизма.
Рассмотрим действие сил в кинематических парах, счи тая, что влияние трения мало и им можно пренебречь.
Рис. 6.1
Сила взаимодействия звеньев, образующих низшую па ру, представляет собой равнодействующую элементарных сил, распределенных по поверхности соприкосновения звеньев. Как известно из теоретической механики, сила взаимодействия двух соприкасающихся тел в отсутствие трения направлена по общей нормали к их поверхности.
В поступательной паре звенья 1 и 2 соприкасаются в кон структивных пределах звена 1, т.е. на участке UW Реакция F 12, действующая на звено 1 от звена 2, приложена в точке D и_направлена по нормали п —п (рис. 6.1, а). Модуль реакции F 12 и расстояние 6 неизвестны и должны быть определены в процессе силового расчета. Сказанное, в силу третьего закона Ньютона, полностыо_относится к реакции i^ i, приложенной к звену 2 от звена 1 : F 21 = ~ ^ 1 2 -
Рассмотрим особый, но весьма распространенный случай. Пусть на звено 1 действует активная сила Fi (рис. 6 .1 , 6 ). Формально она должна быть уравновешена силой F 1 2 ? ПРИ~ ложенной в точке D. Однако звено 2 в точке D не может воз действовать на звено 1 , поскольку соприкасаются звенья 2 и 1 на участке UW (в конструктивных пределах звена 2), а точ
ка D находится вне этого участка. В случае, когда^Ь > |
а, к |
|
звену 1 будут приложены уже две реакции F y 12 |
и Fyy\2 |
(см* |
рис. 6 .1 , 6 ), а не одна (как на рис. 6.1, а, где Ь < |
а). Можно |
считать, что эти реакции приложены в крайних точках U и W Именно они, направленные навстречу и неизвестные по модулю, и представляют собой реальное силовое воздействие на стержень 1 от звена 2 , а вектор F 12 является лишь их фор мальной равнодействующей. Следовательно, если в процессе
силового расчета размер b получается больше размера а (при любом внешнем активном нагружении), то в поступательной паре действуют две реакции.
Таким образом, поступательная пара в любом случае (см. рис. 6 .1 , а, б) вносит в расчетные уравнения две неизвестные величины. _
Во вращательной паре сила F и направлена нормально к цилиндрической поверхности соприкосновения обоих звеньев,
т.е. проходит через |
центр шарнира А (рис. 6 .1 , в). Положе |
ние центра шарнира всегда известно, но модуль силы F \2 и |
|
угол (3 неизвестны. |
И эта низшая пара привносит в расчет |
две неизвестные. Следовательно, от каждой силы, действую щей в низшей кинематической паре, в расчетных уравнениях (6.1) — (6.3) появляются две неизвестные величины.
Пусть вращательная пара конструктивно выполнена в ви де двух подшипников: 0 1 и О" (рис. 6 .2 ). Сила F 12, получен ная из расчета, расположена (во взятом примере) в плоскости В — В зубчатой передачи и является равнодействующей ре
акций 7^12 и jp^2 • Эти реакции представляют собой реальное силовое нагружение подшипников. Именно они нужны для рас чета подшипников на долговечность, а вала — на прочность.
В высшей паре контакт звеньев может быть либо точеч ный , либо линейным. Силовое взаимодействие звеньев при то чечном контакте выражается сосредоточенной силой, при ли нейном — в виде нагрузки, распределенной по линии контакта.
8 - П273
В последнем случае под силой взаимодействия понимают рав нодействующую элементарных распределенных сил.
Сила F 12 в высшей паре направлена по общей нормали п —п (рис. 6.3). Следовательно, для силы F 12 известны как точка приложения (точка К ), так и линия действия, и неиз вестным остается только модуль. Таким образом, в расчетных уравнениях (6 .1 ) — (6 .3 ) члены, образованные силами взаимо действия в высших парах, содержат по одному неизвестному.
Рассмотрим статическую определимость любого плоского механизма без избыточных связей (q = 0 ), в состав которого входят п подвижных звеньев, рн низших и рв высших кине матических пар. Так как для каждого звена механизма мож но записать три расчетных уравнения (6 .1 ) — (6 .3 ), то общее число уравнений для всех его п подвижных звеньев составит
Ny = 3п.
Ранее было показано, что каждая низшая пара вносит в расчетные уравнения две неизвестные величины, а каждая высшая — одну. Поэтому все кинематические пары вносят N f = 2рн + Рв неизвестных. Эти неизвестные относятся к си лам в кинематических парах, т.е. к внутренним силам. Кон кретно Np неизвестных представляют собой модули этих сил, линейные координаты точек их приложения, угловые коорди наты линий их действия.
Запишем для плоского механизма формулу Чебышева (см. уравнение (2 .2 )):
Зп = (2рн + Рв) + Wn.
Сопоставив с ней выражения для Ny и Np, получим Ny = = Np + Wn. Таким образом, число уравнений Ny достаточно для определения всех Np неизвестных. Отсюда следует прин ципиально важный вывод: механизм без избыточных связей статически определим.
Оставшиеся Wn уравнений используют для определения тех внешних силовых факторов, т.е. сил и пар сил, приложен ных к механизму извне, которые не заданы и в силовом расчете являются искомыми* Следовательно, число этих внешних не известных не должно превышать числа степеней свободы меха низма. Если же все внешнее нагружение задано, то оставшиеся Wn уравнений используются как контрольные.
Установим последовательность выполнения силового рас чета. Пусть задан механизм (рис. 6.4, а) без избыточных свя зей, имеющий Wn = 1 . Допустим, что момент М\ (пара сил), приложенный к кулачковому валу извне, не задан и является искомым. Остальными неизвестными будут внутренние силы в кинематических парах. Чтобы определить их, механизм надо расчленить.
* В ряде учебников неизвестные внешние силовые факторы называют
уравновешивающими силами и уравновешивающими моментами.
Прежде всего следует выделить двухзвенный механизм, состоящий из подвижного звена и стойки. Подвижным звеном двухзвенного механизма должно быть обязательно то, к кото рому приложен искомый внешний силовой фактор (в рассмат риваемом примере — кулачок i, нагруженный неизвестным внешним моментом М\\ рис. 6.4, б). Затем оставшуюся часть заданного механизма необходимо расчленить на структурные группы Ассура (см. гл. 2). В рассматриваемом механизме таких групп две: одна состоит из звена 2 , высшей пары 2 / 1 и вращательной пары 2/ 5 , другая — из звеньев Зи вращатель ных пар 3/2 и 3/4 и поступательной пары 4/6. Подчеркнем, что именно при таком расчленении заданного механизма в си ловом нагружении каждой структурной группы неизвестными будут только силы в кинематических парах. Поэтому число неизвестных в группе составит Np = 2рн.г + Рв.г> а число рас четных уравнений для нее Ny = 3пТ. В то же время, для струк турной группы справедливо соотношение 3пг = 2рн.г+Рв.г (см. § 2.3). Сопоставляя его с выражениями, полученными для Ny
иАр, заключаем, что Ny == Np. Это значит, что структурная группа Ассура, сколь бы сложной она ни была, обладает заме чательным свойством: она статически определима. При этом все активные силы (сопротивления, движущие, силы тяжести
идр.), приложенные к звеньям группы Ассура, должны быть обязательно известными.
Если в механизме имеются структурные группы, которые
содержат избыточные связи, то эти структурные группы явля ются статически неопределимыми. Вместе с ними статически неопределимым становится и весь механизм.
Только после того, как силовой расчет всех структурных групп проделан, двухзвенный механизм 1 — 5 (сМрис. *0
получает статическую определимость. При этом необходимо отметить, что если его подвижное звено совершает вращатель ное движение, то не обязательно вращение принимать равно мерным. Более того, если искусственно задавать враШение без углового ускорения, то решение уравнения моментов>со ставленного для подвижного звена двухзвенного механизм^ во многих случаях может оказаться далеким от истинного Даже при вращении с малым коэффициентом неравномерности) а в иных случаях и попросту абсурдным.
На основании вышеизложенного можно сформулировать общую методику силового расчета: силовой расчет механиз ма без избыточных связей следует проводить по структурным группам, начиная от группы, наиболее удаленной от подвиж ного звена двухзвенного механизма, и заканчивая расчет са мим двухзвенным механизмом. Таким образом, силовой рас чет проводится в порядке, обратном кинематическому. Струк турное расчленение надо проводить так, чтобы неизвестный внешний силовой фактор оказался приложенным к подвижному звену именно двухзвенного механизма. Добавим, что если все внешние силовые факторы, нагружающие заданный механизм, известны, то выбор двухзвенного механизма для структурно го расчленения становится произвольным. Сформулированная общая методика верна также и для механизмов с Wn > 1 сте пенями свободы.
Следует иметь в виду, что не всегда силовой расчет можно выполнить путем расчленения заданного механизма на двух звенный механизм и группы Ассура. Рассмотрим, например, механизм, в котором внешняя сила F 2 является искомой по мо дулю (рис. 6.5, линия действия силы F 2 задана). Если попы таться выделить группу Ассура либо 2 — 5, либо 1 — 2 и со ответственно двухзвенный механизм, то в любом из этих слу чаев неизвестная по модулю внешняя сила F 2 окажется при ложенной к выделенной группе (а не к двухзвенному механиз му), что сделает группу статически неопределимой. Поэто му при заданных условиях, когда искомый внешний силовой фактор (сила F 2 ) приложен к звену, не связанному со стой кой, нельзя выделять группу Ассура, а надо решать статиче ски определимую трехзвенную систему 1 — 2 — 3 целиком, а затем (если нужно) сделать силовой расчет стойки 4• Систе мы, более сложные, чем группы Ассура (например, система 1— 2 — 3 на рис. 6.5), обладающие статической определимо стью и содержащие минимальное число звеньев, называют ки нематическими группами.
В заключение рассмотрим, что конкретно представляет собой при Wn = 1 неизвестный внешний силовой фактор, при ложенный к подвижному звену двухзвенного механизма. Если подвижное звено соединено с источником (или потребителем
В
/
4 |
Рис. 6.5 |
механической энергии — в зависимости от направления потока энергии) посредством муфты (рис. 6 .6 , а), то внешним силовым фактором является неизвестный момент М. Если же подвод (или отвод) энергии осуществляется через зубчатую или фрик ционную передачу (рис. 6 .6 , б, в), то внешним силовым факто ром будет неизвестная по модулю сила F Расположение линии действия силы F определяется либо геометрией зубчатой пе редачи (углом зацепления а^), либо проходит через точку со прикосновения фрикционных катков касательно к их рабочим поверхностям. При ременной передаче (рис. 6 .6 , г) внешний си ловой фактор представлен уже не одной, а двумя неизвестными по модулю силами F\ и i^ , связанными между собой формулой Эйлера. Поэтому внешний силовой фактор по-прежнему один раз неизвестен. Линии действия сил F\ и F 2 определяются по ложением ведущей и ведомой ветвей ременной передачи. Если же подвижное звено двухзвенного механизма совершает пря молинейно поступательное движение (рис. 6 .6 , <?), то внешним силовым фактором является одна неизвестная по модулю си ла F, действующая обычно вдоль направляющей поверхности. Таким образом, и здесь внешний силовой фактор один раз не известен.
а |
б |
в |
г |
д |
Рис. 6.6
$ 2 z = - Т П 2 а $ 2 х \ |
$ 2 y = - T n 2 a S 2 y \ |
|
|
Фзх = -m 3aS3x'i |
ФзУ = |
0; |
(6.5) |
Мф1 = -J \A £\'I |
Мф2 = |
~ h s e2\ Мф3 = 0. |
(6.6) |
Главный вектор сил инерции звена i Ф1 = —mias\ = 0, так как asi = 0 , поскольку центр масс S\ благодаря противове су находится на оси вращения А (см. рис. 6.7). Отметим, что величины главных векторов и главных моментов сил инерции
зависят от квадрата угловой скорости |
начального звена 1 \ |
это имеет особое значение для быстроходных механизмов. |
|
Для каждого звена механизма составим два уравнения |
проекций на оси х и у и одно уравнение моментов. Модуль искомой силы F в кинематической паре найдем через ее про
екции: Г = s i n + Ц , а угол наклона ц>р вектора F |
к оси |
х — по очевидным формулам: cos <рр = Fx/F, sin ipp = |
Fy/F |
Момент относительно точки О силы F, приложенной к некото рой точке К, определим из уравнения M Q (F) = Fy(xp- —х о ) — -F x(yK - УоУ Напомним также, что, поскольку силовой рас чет выполняется методом кинетостатики, в число реальных внешних силовых факторов условно вводятся главные векто ры Ф, и главные моменты М$,- сил инерции подвижных звеньев механизма. Поэтому все уравнения проекций и уравнения мо ментов формально сводятся к нулю, хотя подвижные звенья механизма не находятся в равновесии, а движутся усхореННО-
Расчленим механизм на структурную группу Дссура 3 — 2 и двухзвенный механизм 1 — 4•Сделаем силовой расчет группы^ 3 — 2. К ее звеньям приложены известные здешние силы Рз, Фз, Ф2 и момент Мф2 (рисб.8, а). НеизвесТИ^ш0 являются модуль и направление силы F 2 1 , модуль сиди Г 34 и ее плечо 6, модуль и направление сил взаимодействии д шар нире С, связанных соотношением F 23 = —Рз2-
Сумма проекций на ось х сил, приложенных к зве0У
равна нулю: |
Fx = 0. Следовательно, |
|
|
3 |
|
|
Fix + Фз* + Рз2х = 0. |
(6-7) |
Искомой является проекция |
|
|||||
F$2X• Знаки |
в |
этом |
урав |
|
||
нении, как и во всех после |
|
|||||
дующих, имеют алгебраиче |
|
|||||
ский смысл. |
Это значит, |
|
||||
что числовые значения про |
|
|||||
екции сил подставляются |
в |
|
||||
уравнения |
проекций |
сил |
и |
|
||
моментов со строгим соблю |
|
|||||
дением их знаков. Так, про |
|
|||||
екция F$x имеет знак ми |
|
|||||
нус, поскольку |
сила F 3 на |
|
||||
правлена |
вниз |
|
(рис. 6 .8 , а). |
|
||
Модуль и направление силы |
|
|||||
F 3 можно взять из исходных |
|
|||||
данных. Модуль и знак про |
|
|||||
екции Фз* |
определяются из |
|
||||
уравнения |
(6.5). |
Очевидно, |
|
|||
что проекция F ^ x = 0 . |
|
|
||||
Сумма моментов |
отно |
|
||||
сительно точки В всех сил, |
|
|||||
приложенных к звену 2 , |
|
|||||
равна нулю: |
^ |
Мв |
= |
0. |
|
|
Отсюда |
|
2 |
|
|
Рис. 6.8 |
|
|
|
|
|
|
||
^23у(хС - |
ХВ ) - |
FwxiVC - |
Ув) + $2y(xS2 ~ ХВ )- |
|
||
|
|
|
|
~ $ 2x{yS2 ~ Ув) + Мф2 = 0. |
(6 .8 ) |
В уравнении (6 .8 ) искомой является ^23у! численное значе ние и знак момента Мф2 определяются из уравнения (6 .6 ), а -?23х = —FZ2X - Теперь определим модуль силы ^23» нагружа ющей шарнир (7, и ее угловую координату <рр23 так, как было указано ранее.
Сумма проекций на ось х для звена 2 : |
Fx = 0 , или |
|
2 |
р 2 3 х + $ 2 x + F 2 1 x = 0> |
( 6 -9) |
откуда определяем проекцию i^lx •
Сумма проекций на ось у для звена 2: £) Fy = 0, т.е.
|
2 |
F-iZy + $ 2 у + F21J, = |
(6 .1 0 ) |
где искомой является i^ iy Подсчитаем модуль силы F 2 1 , на гружающей шарнир В , и ее угловую координату <PF2l-
Составим сумму проекций на ось у для звена 3: |
= 0 , |
|
учитывая, что |
= 0 и Фзу = 0 , имеем |
3 |
|
||
|
F$2y + F u y = 0. |
(6-11) |
Отсюда найдем проекцию F ^y. Направление силы F 3 4 , при ложенной к ползуну 3 от стойки 4 >определяется ее знаком.
Осталось неиспользованным уравнение моментов |
М с = |
|
|
|
з_ |
= 0 , которое употребим для определения плеча 6 силы F 34 (см. |
||
рис. 6 .8 , а): |
|
|
|
F u y ( x o ~ х с ) = 0, |
(6.12) |
откуда получим b = |
- хр = 0 я хр = X Q . |
|
Таким образом, для структурной группы 2 — 3 были ис пользованы шесть уравнений (6 .7 ) — (6 .1 2 ), из которых были определены все неизвестные.
План сил, приложенных к звеньям структурной группы, представлен на рис. 6 .8 , б. Этот план наглядно показывает, как важно учитывать влияние ускоренного движения звеньев. Если им пренебречь, т.е. положить силы инерции Ф2 и $3 равными нулю (рис. 6 .8 , в), то такой неучет приведется зани женным значениям сил в кинематических парах (сил F 2 1 , ^ 32 >
.F34), что особенно проявит себя в механизмах быстроходных машин.
Перейдем к силовому расчету двухзвенного механизма, со ставленного из подвижного звена 1 и стойки 4 (рис. 6.9). К зве_ ну 1 приложены: ставшая известной сила F \2 = —F 2I1 МОМент Мь направленный, согласно рис. 6.7, по ходу часовой стрелки, главный момент сил инерции М$\ и неизвестная по моДУлю и направлению реакция F\^ стойки. Напомним, что главный вектор сил инерции Фз = 0 .
из уравнения (6.15), поскольку моменты М\ и M ^(F 1 2 ) заве домо не равны и сильно различаются. Момент Мф4 может иметь значительную величину, что существенно для расчета главного вала машины (звена 1 ) на прочность.
Определение силовых факторов, нагруж ающ их корпус машины и ее основание. Рассмотрим стойку криво- шипно-ползунного механизма. Конструктивно это корпус ма шины, который устанавливается на специальном основании. Если машина — автомобильный ДВС, то таким основанием будет рама автомобиля, если стационарный компрессор или пресс, то — фундамент, на котором установлен компрессор или пресс и т.д.
К стойке 4 приложены следующие силы и моменты (рисб.Ю , а): ставшие известными воздействия звена 1 F\\ = = —F \ 4 и звена 3 Е43 = —Е3 4 , сила F4p = —F 3 , зависящая от рабочего процесса машины, и, наконец, реакция основания, представленная в виде двух силовых факторов, а именно^не известного по модулю и направлению главного вектора F 4 и неизвестного главного момента М4 . Условимся определять мо дуль главного_момента М4 , полагая, что линия действия глав ного вектора F 4 проходит через точку А. Напомним, что в перечислении сил, действующих на стойку, как ц ранее, услов но не включена ее сила тяжести.
Если силовой расчет выполняется для крцвошипно-пол- зунного механизма поршневой машины (насоса, компрессора, детандера, ДВС и т.п.), то сила F4p является силой давле ния рабочего тела (жидкости, газа), находящегося внутри Ци линдра Ц, на его крышку К (рис. 6.10, б). Если крйвошипноползунный механизм есть главный механизм пресса или стан ка, то сила Е4р представляет собой воздействие, которое обра батываемое изделие оказывает на стол пресса ици станка.
Составим три уравнения равновесия стойкц:
FИх + ^4рх + |
= 0 |
, |
(6.16) |
|
(6-17) |
||||
■^41у + ^43у + |
^4у = 0, |
|||
(6-18) |
||||
^43 у^С + М4 |
= 0 . |
|
Из уравнения (6.16) определим Fix, из уравнения (6-17) полу чаем F^y. Затем подсчитаем модуль вектора F\ и его угловую координату ipF4. Из уравнения (6-18) найдем
Рис. 6.10
Физический смысл уравнения (6.18) состоит в следующем.
Сила F 43 создает относительно точки А момент |
(см. |
рис. 6 .1 0 , а), стремящийся опрокинуть корпус машины. |
Пре |
пятствует этому опрокидыванию только момент М*, действу ющий от основания на корпус (т.е. на стойку), так как осталь ные силы, приложенные к стойке, относительно точки А мо мента не создают.
Опрокидыванию подвергается корпус и компрессора, и ДВС, и электродвигателя, т.е. любой машины, независимо от того, какой рабочий процесс в ней протекает, а также лю бой передаточный механизм. Поэтому машину и передаточ ный механизм всегда надежно закрепляют на их основании. Конструктивное исполнение этого закрепления и методика его расчета излагаются в курсе «Детали машин» и в специаль ных машиностроительных курсах.
Выразим проекции F±x, F±y через силовые факторы, толь
ко внешние |
по отношению к механизму в |
целом (см. |
рис. 6 .1 0 , 6 ). |
Для этого сложим уравнения (6.7), |
(6.9), (6.13), |
(6.16), охватывающие все четыре звена механизма. Проекции
F$2X = --^23*1 ? 2 1х = ~Fl2x > Fux = ~FAU сил взаимодействия в кинематических парах в суммарное уравненйе не вой дут. В него войдут проекции только внешних сил, но, хотя си лы F 3 и F4p и внешние*, их проекции в него также не войдут, поскольку силы F 3 и F4p равны и противоположно направлены (см. рис. 6.10,5). В результате суммарное уравнение примет вид Ф2х + Фзх + F^x = 0 , откуда
FAX = - ( ф2х + ф3х)- |
(6.19) |
Сложим уравнения (6.10), (6.11), (6.14), (6.17). |
В итоге |
получим |
|
F$y = -Ф 2у- |
(6 .2 0 ) |
* Силы F* и F\р — это воздействия рабочего тела (например, газа,
ж идкости в случае поршневой машины или обрабаты ваем ого изделия для машины технологической). Но рабочее тело не является звеном механизма и в его состав не входит, а поэтом у для механизма силы Fз и F4Р — это силы внешние (а не внутренние, как это м ож ет показаться).
Составим уравнение моментов относительно точки А для всех четырех звеньев (см. рис. 6 .8 , а, 6.9, 6.10, а), т.е. для ме ханизма в целом. Заметим, что моменты сил взаимодействия jp23 и F 32 в шарнире С равны и противоположно направлены (см. рис. 6 .8 , а), а поэтому в уравнение моментов не войдут. То же самое относится к моментам сил взаимодействия во всех остальных кинематических парах, т.е. сил, являющихся вну тренними для механизма в целом. Следовательно, в уравнение войдут только моменты сил и пар сил, приложенных к меха низму извне (см. рис. 6 .1 0 , б), кроме моментов внешних сил F з и i^4p, равных и противоположно направленных. Поэтому для механизма в целом уравнение примет вид
М1 + МА{Ф2) + Мф2 + МФ1 + М4 = 0, |
(6 .2 1 ) |
откуда выразим момент М4 через внешние силовые факторы. Определим, какое давление на свое основание (фундамент)
оказывает машина с кривошипно-ползунным механизмом. Си стему нагружения основания со стороны машины можно све сти к главному вектору Fo = —^ 4, линия действия которого проходит через точку А (ось вращения звена i, т.е. вала ма шины), и к главному моменту Мо_= - М 4 (рис. 6 .1 0 , г).
Проекции главного вектора F Q на оси х и у:
Fox = -F ±x = Фхх + Ф2х + Фзх = Фех; |
(6 .2 2 ) |
Foy = -F ±y = Ф^ + Ф2У - $Еу |
(6.23) |
Главный момент MQ, используя (6 .2 1 ), представим в виде
MQ = [Мф1 + Мф2 + МЛ(Ф\) + МА(Ф2 )] + М\ =
= Мф^ + М\. (6.24)
В уравнениях (6 .2 2 ) — (6.24) буквами Ф% и Мф£ обозначены общий главный вектор (через его проекции) и общий главный момент системы сил инерции всех подвижных звеньев меха низма. Члены Ф^, Ф^, МА(Ф\) входят в состав этих урав нений в том случае, когда центр масс звена 1 не находится на его оси вращения; слагаемые Фзу = 0, МА(Ф3 ) = 0 (см. рис. 6 .8 , а), Мф3 = 0 (см. (6 .6 )). _
Как видно из уравнений (6 .2 2 ) и (6.23), главный вектор F Q определяется силами инерции, а это указывает на то, что он
есть результат ускоренного движения всех подвижных звеньев механизма, т.е. имеет динамическую природу. Отметим, что на основание машины передается также воздействие ее силы тяжести и в ряде случаев воздействия других активных сил (например, сил затяжки фундаментных болтов), которые в си ловом расчете не рассматривались. Следовательно, в общем случае главный вектор F Q складывается из двух составляю щих: составляющей, вызванной действием активных сил, и динамической составляющей, вызванной ускоренным движе нием звеньев механизма.
Главный момент Л/ Q в общем случае также складывает ся из двух составляющих: из составляющей, вызванной дей ствием активных сил и моментов (например, момента М\ в уравнении (6.24)), и динамической составляющей, являющей ся результатом ускоренного движения звеньев (см. (6.24)).
Отметим, что силы, нагружающие основание, фактиче ски приложены именно в тех местах, где корпус машины (т.е. стойка 4 механизма) закрепляется на основании (на рис. 6 .1 0
— в местах Q и N). Поэтому главный вектор F Q и главный мо мент M Q — расчетные величины, характеризующие лишь сум марный результат воздействия машины на ее основание (см. рис. 6 .1 0 , б).
Выполнять силовой расчет следует многократно, для раз личных положений механизма. Это значит, что силовой расчет представляет собой весьма трудоемкую работу. Радикально снизить трудоемкость можно путем применения компьютера.
Анализ результатов силового расчета, выполнен ного на компьютере. На основании методики, изложен ной в § 6 .2 , составлена схема алгоритма силового расчета кривошипно-ползунного механизма. Эта схема, алгоритма, под ходит для любой одноцилиндровой двухтактный поршневой машины, а. также для кривошипного пресса и других двух тактных технологических машин, главным механизмом кото рых является кривошипно-ползунный.
В соответствии с алгоритмом разработана, программа, и сделан силовой расчет механизма, дизеля, работающего в уста новившемся режиме с малым коэффициентом неравномерно сти, который приводит в движение электрогенераторШаг
изменения обобщенной координаты (pi в пределах одного обо рота коленчатого вала Atpi = 5°
Результаты расчета можно представить_графически. На рис. 6 .1 1 изображен график изменения силы F 34 , приложенной к поршню 3 со стороны цилиндра (стойки) (см. рис. 6 .8 , а). Положительные ординаты соответствуют действию силы вле во. Как видно, при 0 < <р\ < 180° поршень прижат к зер калу цилиндра своей правой образующей; при 180° < < < 360° он будет прижат левой образующей. Однако на участ ке 290 ... 320° происходит весьма нежелательное двукратное перемещение поршня в зазоре, сначала слева направо, а затем справа налево. Этого перемещения можно избежать, если мас сы m3 и т 2 поршня и шатуна будут иметь меньшие значения.
На годографах сил (рис. 6.12, 6.13), приложенных к шату ну 2 от поршня 3 (сила F 23 ) и коленчатого вала 1 (сила ^ 2 1 )) цифрами указаны соответствующие значения обобщенной ко ординаты tpi в градусах. Годографы сил и график ^ 3 4 (^1 ) нужны для расчета деталей механизма на прочность, жест кость и продольную устойчивость, а также для расчета кине матических пар 3/4у 2/3, 2 / 1 на износ, долговечность и невыдавливаемость смазочного материала.
График изменения вертикальной составляющей F QX глав ного вектора F о, действующего от корпуса ДВС на его основа ние (рис. 6 .1 0 , г), показан на рис. 6.14. Знаком плюс отмечено действие составляющей вверх. В то же время горизонтальная составляющая F оу главного вектора изменяется по синусои дальному закону. Ее амплитуда равна 6 кН.
На рис. 6.15 изображен главный момент Мо, действующий на основание от корпуса ДВС. Знак плюс указывает, что глав ный момент MQ направлен против хода часовой стрелки.
Рис. 6.12
Рис. 6.15
Таким образом, важно отметить, что машина оказывает на свое основание периодически изменяющееся воздействие в виде силы F о и момента Мо. Оно вызывает вибрацию основа ния и других машин, закрепленных на нем.
Графический, или векторный, метод силового расчета из ложен в специальной литературе.
6.3.Действие сил в кинематических парах
сучетом трения
Вданном параграфе проведен анализ действия сил в ки нематических парах с учетом трения. При наличии трения изменяются модуль и направление сил, действующих в кине матических парах. Согласно положениям теоретической ме ханики, при наличии трения скольжения сила взаимодействия двух соприкасающихся тел отклоняется от общей нормали к их поверхностям на угол трения. Тангенс угла трения равен коэффициенту трения скольжения:
t g ¥ ,T = /r- |
(6.25) |
В поступательной паре сила F\2 , приложенная к звену 1 от звена 2 , отклоняется от нормали п —п и составляет угол 90° + (рТ с вектором скорости v\2 движения звена 1 относи тельно звена 2 (рис. 6.16, а). Как видно из рисунка, касатель ная составляющая F T12 — сила трения — направлена против относительной скорости U1 2 ; в этом проявляется тормозящее действие трения. Обе составляющие реакции F 12 связаны со отношением
F'т!2 = / T^VI2 - |
(6.26) |
Рис. 6.16
Модуль силы F 12 и координата b точки ее приложения (точка D) неизвестны и определяются в ходе силового расчета. Сказанное относится и к силе F 21 (на рис. 6.16, а не показана), приложенной к звену 2 со стороны звена 1 Утак как по третьему закону Ньютона F 21 = —F\2 -
Если в результате силового расчета получается, что b > а (рис. 6.16,6), то это значит, что к звену 1 приложена не од на, а две реакции F JJ12 и Fyyi2 >неизвестные по модулю (см.
§6 .1 ). Вследствие трения они отклоняются от нормали и со
ставляют с вектором относительной скорости v\2 угол 90°+у>т - Линии действия этих реакций пересекаются в точке Н. Линия действия их равнодействующей F \2_ должна проходить через точки Н и D. Равнодействующая F \2 составляет с вектором v\2 угол 90° + ф. __
Когда точки D и W совпадают, то ф = ipT и F y i2 = 0. Но чем дальше точка D находится от края направляющего гнезда (от точки W ), тем большим становится угол ф. Отсюда следу ет, что суммарное тормозящее действие трения, оцениваемое касательной составляющей ,Fxi2 = F12 sin^, в поступательной паре может быть значительным и тем большим, чем дальше располагается точка D от точки W Ясно также, что чем мень ше размер а, тем ближе точка Н к оси гнезда и тем больше угол -0, т.е. больше влияние трения в поступательной паре. Угол ф может получиться много больше угла ipT. Все это необходимо учитывать при проектировании поступательной пары.
__ Во вращательной паре (рис. 6.17, а) силы взаимодействия F i2 = - F 21 (сила F 21 на рис. 6.17 не показана) также отклоня ются от нормали п —п, а потому проходят не через центр шар нира, а по касательной к окружности, центр которой совпадает с центром шарнира. Круг, ограниченный этой окружностью, называют кругом трения. Его радиус равен рТ = (2} / 2 )siny>T, где D — диаметр вала (оси шарнира). Так как угол трения <рт
обычно не превышает 6 .. . 7 °, то sin<£>T « |
tg ipT = / т . Поэтому |
с некоторым допущением можно принять |
|
Рт = j /т. |
(6.27) |
Модуль силы F 12 и положение точек К и 13, а следова тельно, направление линии действия силы F\2, координируе мое углом /?, неизвестны и определяются силовым расчетом.
Действие силы F \ 2 (рис. 6.17, а) можно заменить совмест ным действием силы F ^2, равной F \ 2 и приложенной в центре шарнира, и пары сил [F\2, ^ 12] (рис. 6.17, б). Направление действия пары сил [F12 , ^ 12] противоположно угловой скоро сти u;i2 , с которой звено 1 вращается относительно звена 2 . В этом проявляется тормозящее действие трения в шарнире.
Рис. 6.18
Пару сил [F\2 , ^ 12]) приложенную к звену 1 от звена 2, будем называть моментом трения в шарнире:
Мтп = FI 2PT- |
(6.28) |
Очевидно, что Мт21 = - М х1 2 .
Вращательная пара может быть выполнена конструктив но в виде двух подшипников. Если подшипники расположены по разные стороны от плоскости, в которой действует нагру жающая сила F (рис. 6.18, а), то реакции обоих подшипников направлены в одну и ту же сторону и могут быть заменены равнодействующей F 12, равной их арифметической сумме. По этой равнодействующей и подсчитывается общий момент тре ния обоих подшипников: Мт12 = FI2PT-
Иная картина будет, если подшипники находятся по од ну сторону от плоскости, в которой действует нагружающая сила F (рис. 6.18,5) (например, при консольном расположе нии зубчатого колеса). В таком случае реакции подшипни ков направлены в противоположные стороны, и равнодейству ющая этих реакций определяется уже их разностью (а не сум мой), в то время как общий момент трения обоих подшипников по-прежнему равен арифметической сумме моментов трения в каждом подшипнике. Следовательно, общий момент трения нельзя оценивать посредством момента равнодействующей си лы, так как трение при этом было бы недоучтено. При одно-
стороннем расположении подшипников силовой расчет с уче том сил трения нужно проводить, рассматривая в отдельности реакцию каждого подшипника, и нельзя заменять обе реакции их равнодействующей.
Высшая кинематическая пара (рис. 6.19) в плоском меха низме допускает два относительных движения: звенья 1 к 2 могут скользить (^12) и перекатываться друг по другу (^12)- Поэтому и трение в высшей кинематической паре проявляется двояко: в виде трения скольжения и трения качения. Тормо зящее действие трения качения (Мкач) в большинстве случа ев весьма невелико, и поэтому его в дальнейшем учитывать не будем. Конечно, при расчете подшипников качения, иссле довании движения тяжелых предметов на подкладных катках и рольгангах и в других подобных задачах трением качения пренебрегать нельзя. Но такие задачи относятся к области специальных расчетов, а поэтому выходят за рамки учебной дисциплины.
Трение скольжения проявляет себя в высших кинемати ческих парах так же, как и в низших: сила F 1 2 , приложенная к звену 1 от звена 2 , отклоняется от нормали на угол тре ния (рТ и составляет с вектором относительной скорости U12 угол 90° + <^т- Угол ipT подсчитывается по уравнению (6.25).
Касательная составляющая F Ti2 — сила трения — направле на навстречу относительной скорости v\2 . В этом проявляет ся тормозящее действие трения. Модуль сил взаимодействия F \2 = —F 21 неизвестен и определяется силовым расчетом.
Если относительное движение в высшей паре сводится к одному лишь качению (т.е. и\2 ф 0 , но v\2 = 0 ), то сила трения F T12 не обязательно должна быть равной нулю. В этом случае она является силой трения покоя.
Сила трения покоя FTn может проявить себя и в низ шей кинематической паре. Она подчиняется соотношению ^тп < /тпFtf, где FN — нормальная составляющая реакции в кинематической паре. Сила трения покоя, будучи реакцией, может быть меньше произведения / Тп^7у; ее модуль зависит от активной силы, вызывающей реактивную силу трения покоя. Строго говоря, коэффициент сцепления / тп несколько больше коэффициента трения скольжения / т . Однако, допуская не большую ошибку, можно принять /тп ~ /т* Поэтому для угла трения <^тп, на который при покое фактически отклоняется ре акция, можно записать соотношение ipTn < ipT. Если при покое активные силы не вызывают трения, то (ртп = 0 , и реакция бу дет направлена по нормали.
Коэффициенты трения зависят от многих причин (вид ма териалов трущихся тел, состояние трущихся поверхностей и др.), и их определяют опытным путем. Поэтому в справоч никах приведены лишь усредненные значения коэффициентов трения, вследствие чего результаты силового расчета всегда имеют некоторую погрешность.
Следует иметь в виду, что значение коэффициента трения / т, подставляемое в расчетные формулы, зависит от конструк тивного исполнения кинематической пары и может заметно от личаться от значения / э, получаемого из физического экспери мента с плоскими образцами. Так, если поступательная пара в сечении, перпендикулярном вектору относительной скорости ^12, имеет клиновидную форму (например, кинематическая па ра, образованная задней бабкой 1 и направляющими стани ны 2 токарного станка (рис. 6 .2 0 )), то в формулу FTi2 = f TF