- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
где а и 6 —комплексные |
постоянные. |
Доказать, |
что в точке г0 она |
||||||||||||
имеет предел, |
равный w0=az0 + bt аф 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, возьмем произвольное число |
|||||||||||||||
е > 0. |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I/(г )—“Vi 1= 1(аг + Ь) — (аг0+&) | = |
| аг —аг^ | = | а | • | г —г01, |
|
|||||||||||||
то, выбрав в качестве 6 (е) > 0 |
число 6 = |
*j— |
будем иметь |/(г) — wQ\< |
||||||||||||
< е при |
0 < | г —20 | < |
б. |
Это означает, |
что и>0= а г 0+ & есть предел |
|||||||||||
функции |
/ (г) = аг+Ь в точке г0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку |
lim |
/(г) = ц20+ & = /( г 0), |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
г —г« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то тем самым |
доказано, |
что в любой |
точке го |
линейная функция |
|||||||||||
-непрерывна. |
7. |
Показать, |
что функция |
w = г2 -непрерывна |
при |
||||||||||
П р и м е р |
|||||||||||||||
любом значении г. |
|
произвольную |
точку |
г0 и |
|
произвольное |
|||||||||
Р е ш е н и е . |
Возьмем |
|
|||||||||||||
число |
е > 0 . |
Так |
как |
значение функции /(г) = г2 в точке ZQ равно |
|||||||||||
/(*о)=г§, |
то |
покажем, |
что |
существует |
число б (г) > |
0 |
такое, |
что |
|||||||
|г 2—г? | < е при |
|г —2о | < 6. |
|
число |
М > |
0, |
что |
| г | < |
М и |
|||||||
Если |
г -► г0, |
то найдется такое |
|||||||||||||
I г# | < |
М. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I г2- * ? | = | (г + г в) (г -г„ ) | = ! г+ го | • | г - г 01 < |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< (1 2 ! + |
! го i) I г —г0 , < |
2М 12 —г0 (, |
||||||
Если |
положить 6 = 2^ , |
то из неравенства |
|г —2о | < б |
будет следо- |
|||||||||||
вать, |
что |
|
|
|
|z2—г2 | < 2 М 5 г^ е , |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
т. е. при |
любом г0 функция. и>=г2 является |
непрерывной. |
|
|
Пользуясь определением предела, показать, что
92. lim |
= 1. |
93. lim |г| = 5. |
z -* I 2”TJ |
|
z-3 —4( |
Вычислить следующие пределы: ]
9*. lim |
£ & * = !. |
z - * - i |
2 + t |
96. lim sinг г-.о sbiz •
95. |
lim |
cos2z |
|
я ch iz+ i sh iz ' |
|
97. |
lim |
e“ -M |
п, ег + Г
—V
Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
98. /(г) = 2. 99. / (г) = Re г. 100. /(г) = 1т г.
101. |
Р„(z) = a0z" + a1zn-1 |
a,t, где ak {k = 0, 1, |
|
.... «) —комплексные постоянные. |
|
= Р (z) |
|
102. |
Доказать, что рациональная функция |
где Р(г) и Q(г)— многочлены, непрерывна во всех точкахкомплексной плоскости г, в которых (?(г)^ 0 .
103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
Пусть функция w = j(z) определена в некоторой области D ком плексного переменного г. Пусть точки г п г + Дг принадлежат обла сти D. Обозначим.
|
|
Д ш = /(г+ Д г) —/(г), |
Дг = Дл' + /Ду. |
|
|
|
|
|||||||||||
О п р е д е л е н и е |
1. |
Функция |
w = / (г) |
называется дифференци- |
, |
|||||||||||||
руемой в точке |
|
|
_ |
если |
|
|
|
ДW |
имеет |
|
.. |
предел |
^ |
|||||
z<= и, |
отношение — |
|
конечный |
|
||||||||||||||
при Дг, стремящемся к нулю произвольным образом. Этот предел |
£, |
|||||||||||||||||
называется производной функции /(г) в данной |
точке г и обозначается |
|||||||||||||||||
символом /'(г) ^нли |
w‘ или |
|
|
так |
что |
по определению |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
« ' - / ' ( г ) - |
lim |
|
|
|
|
|
|
(1J |
|
||||
Если |
z = x-\-iy, |
w = I (z) — и (х, y) + iv(x, |
у), |
то в каждой |
точке- |
|
||||||||||||
дифференцируемости функции /(г) выполняются соотношения |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ди __ |
ди |
|
ди __ |
до |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
~дх~~~ду' |
~ d y ~ ~ lh c ' |
|
|
|
|
(2) |
|
|||||||
называемые условиями Коши — Римана. |
|
|
|
|
|
|
у) |
|
||||||||||
Обратно, если в некоторой точке |
(,v, у) функции и (я, у) и v{x, |
|
||||||||||||||||
дифференцируемы |
как |
функции |
действительных |
переменных х |
и у |
и, |
|
|||||||||||
кроме того, удовлетворяют соотношениям (2), то функция f(z) = u + iv |
|
|||||||||||||||||
является дифференцируемой |
в точке г = л'-|-п/ как функция комплекс |
|
||||||||||||||||
ного переменного z. |
|
2. |
Функция |
w = j (z) называется аналитической |
|
|||||||||||||
О п р е д е л е н и е |
|
|||||||||||||||||
в данной точке г е |
D, если она дифференцируема как в самой точке г, |
|
||||||||||||||||
так и в некоторой ее окрестности. |
Функция |
/(г) |
называется |
анали |
|
|||||||||||||
тической в области |
D, |
если она |
дифференцируема в каждой |
точке |
|
|||||||||||||
этой области. Для любой аналитической функции |
/ (г) |
имеем |
|
|
|
|||||||||||||
с, . ч |
ди |
. |
. ди |
|
ди |
. ди |
|
ди |
. ди |
до |
, . до |
|
|
|
||||
1 ^ |
= Ж |
+ |
|
|
= |
|
|
-oj = - Ш - 1Ц у = - Щ + 1-6 Г |
|
(3) |
|
|||||||
П р и м е р |
1. |
Показать, |
что функция |
w = ez |
является аналити |
|
||||||||||||
ческой на |
всей |
комплексной |
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение . Имеем г2= ех (cos t/+ i sin у), так что
|
и (х, |
у) = ех cos у, |
v (х, у) = ех sin у. |
Функции |
и (х, у) и |
v (.х, */) как |
функции действительных перемен |
ных х и у |
дифференцируемы в любой точке (х, у) (они имеют непре |
рывные частные производные любого порядка) и при этом удовлетво ряют условиям (2).
Следовательно, функция w= ez всюду аналитическая. Для / (z) = ==ег получаем согласно формуле (3)
(е2)' == (ех cos у)х + i (ех sin у)х = ех (cos у + i sin у) = е2.
.Итак, (е2У = е2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пр име р |
2. Является ли функция w=zz аналитической хотя бы |
|||||||||
в одной точке? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ре ше ние . Имеем zz = х2 + У2, так что |
|
|||||||||
|
|
|
и (X, у) = хг+ у г, |
V (X, у) = 0. |
||||||
Условия Коши —Римана в этом случае имеют вид |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 * = 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2у= 0 / |
|
|
||
и удовлетворяются только в точке (0, 0). |
|
|||||||||
Следовательно, функция w= z2 |
дифференцируема только в точке |
|||||||||
2 = 0 и |
нигде не анаЛитична. |
|
|
|
1, что функция f(z) = zz диф |
|||||
Покажем, |
пользуясь определением |
|||||||||
ференцируема |
в точке |
2 = 0. |
В самом деле, /(0) = 0, поэтому |
|||||||
и |
|
|
Д/ = /(0 + А2)-/(0) = Аг. Дг |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ~ |
= |
lim |
|
^ Z. |
= |
lim |
A5= |
lim (Ax— iky) = 0. |
||
Az —*0 Д2 |
A z - 0 |
|
|
A z - 0 |
|
Д л : - 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b y -♦0 |
Таким |
образом, производная |
/'(0) существует и равна нулю. |
||||||||
П р и м е р |
3. |
Является ли функция w = z = x — iy аналитической? |
||||||||
Р е ш е н и е . |
Здесь |
и (,х, |
*/)=х, |
у (х, у) = — у — всюду дифферен |
||||||
цируемые функции переменных х н у . |
Далее |
|||||||||
|
|
dw _. |
1 |
du _ |
|
ay |
|
0, |
ау = - 1. |
|
|
|
ах |
“ |
а ^ - 0 , |
ах |
|
|
|||
Так^что |
|
т. е- пеРвое |
из условий Коши —Римана не вы |
|||||||
полняется ни в одной точке комплексной плоскости. |
||||||||||
Значит, функция |
w — 2 — нигде |
не дифференцируемая, а следова |
||||||||
тельно, |
и не |
аналитическая. |
|
|
|
|
|
|||
Пользуясь условиями Коши — Римана, выяснить, какие |
||||||||||
из следующих функций |
являются аналитическими хотя бы |
|||||||||
в одной точке, |
а |
какие —нет: |
|
в) |
w — \z\2', г) w = ezt\ |
|||||
104. а) |
w — гЧ', |
б) |
w = zez\ |
|||||||
д) ш= |
I г | Re 2; |
е) |
ECJ = sin Зг — t. |
|
|
|||||
2 |
М. Л. Краснов |
и |
др. |
|
|
|
|
|
|
105. |
a) w = 2Rez\ |
б) w = 2 lm z ; |
в) oy = |z |Im z; |
|
г) |
w = chz. |
|
R ez;>0 |
а; = Inz —ана |
|
|
106. |
Показать, что в области |
|||
литическая функция. |
|
|
|
||
|
107. |
Показать непосредственным вычислением, что при |
|||
натуральном п |
(гпУ == пгпЛ. |
|
|||
|
|
|
|
||
|
108. |
Показать, что |
если аналитические функции / (г) |
||
и |
cp (z) |
удовлетворяют |
условию |
/' (г) = ф' (z), то / (z) = |
=ф(г) + 'const.
109.Показать, что при переходе от декартовых коор динат ( а:, у) к полярным (р, ф)<условия Коши —Римана (2) принимают вид
ди _ 1 dv |
dv __ |
1 |
*ди |
|
||
др |
р |
дер ’ |
др ~~ |
р |
дф * |
' ' |
1 1 0 . Показать, |
что |
если |
аналитическая функция |
до = |
= /(z) в некоторой области действительна, то она постоянна.
111. |
Показать, |
что если |
функция |
f(z) = u(x, |
у) + |
|||||
+iv(x, |
у) аналитцчна |
в |
области D, |
то в этой области |
||||||
выполняется равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ди |
dv |
, |
ди |
ди _~ |
|
|
|
|
|
|
1 х~ д х^г ~ду~ду~'[)т |
|
|
|||||
112 . Пусть |
/ (г) = и (х, |
у) + iv (xt у) — аналитическая |
||||||||
функция в области D. Показать, что |
семейства |
линий |
||||||||
и(х, у) = const |
и v(x, |
у) = const ортогональны. |
|
|||||||
ИЗ. Показать, |
что модуль |
и Аргумент аналитической |
||||||||
функции |
|
f(z) = R(xt y)eilJ){x>0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
связаны соотношениями |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
д Я ==г)дФ |
’ |
ду “ |
п дФ |
|
||||
|
|
дх |
К ' ду |
Ы |
дх ‘ |
|
||||
Пользуясь условиями |
Коши —Римана, |
аналитическую функцию |
f(z) можно восстановить, если известна ее действительная часть и(х, у)
или мнимая |
часть |
v (ху у) (см. [17]). |
окрестности |
точки г0 |
функцию |
||
Кроме |
этого, |
аналитическую |
в |
||||
/ (z) можно восстановить по одной |
из |
следующих |
формул |
(см. [10]): |
|||
|
|
/(Z)= 2u (i± £ “, |
V ° j |
с - |
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ (z) = 2«^i±i!L1 |
21 |
) + C°l |
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|