- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
буквенные параметры, то вычисление определителей при больших k затруднительно.
Можно показать, что если условия (4) выполнены, то все коэф фициенты многочлена (1) положительны
До > 0, аг > 0, ..., ап > б. |
(5) |
Как уже отмечалось, условия (5) являются необходимыми, но не
достаточными |
для |
того, |
чтобы все корни /(X) располагались в левой |
|||||||
полуплоскости |
|
R e X < 0 . Однако при выполнении условий (5) неравен |
||||||||
ства (4) |
уже |
-не являются независимыми. Так, например, при |
п = 5 |
|||||||
условия |
Рауса —Гурвица приводятся |
к |
двум неравенствам: Д2> 0 , |
|||||||
Д4 ;> 0. Это позволило Льенару |
и Шипару установить другие условия |
|||||||||
устойчивости, |
в которых число |
детерминантных |
неравенств примерно |
|||||||
вдвое меньше, чем в условиях (4). |
|
|
того чтобы многочлен |
|||||||
У с л о в и я |
Л ь е н а р а —Ш и п а р а . Для |
|||||||||
|
|
|
/ (А,) = |
а0Хл+ а 1Хл_1 + ... + ал_1Х + дл |
(Г) |
|||||
имел все |
корни |
с отрицательными действительными частями, |
необ |
|||||||
ходимо и достаточно, чтобы: |
|
|
были положительны: |
|
||||||
1) все коэффициенты многочлена /(X) |
|
|||||||||
|
|
|
а0> 0 , |
01 > 0, |
а2> |
0, |
..., ап > 0; |
|
||
2) имели место детерминантные неравенства |
|
|||||||||
|
|
|
|
Д/1—1 '^> 0» |
A/z—з^ |
0» |
|
(6) |
||
(здесь, как и раньше, Дл—определитель Гурвица 6-порядка). |
|
|||||||||
П р и м е р |
|
2. |
Рассмотрим |
то же |
уравнение, что и на стр. 238: |
yV+y'V + 7у" + V + 1о / + Зу= 0.
Здесь
а0 = а1 — \ > 0, а2 = 7 > 0, а3 = 4 > 0, а4= 1 0 > 0 , а5 = 3 > 0 ,
т. е. первое условие критерия Льенара —Шипара выполнено.
Далее, |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
||||
4 |
7 |
1 |
1 |
= 3 > 0, |
|
Да = 3 |
10 |
4 |
7 |
||
|
|||||
0 |
0 |
3 |
10 |
|
т. е. выполнено и условие 2.
Таким образом, тривиальное решение уравнения асимптотически устойчиво.
Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
954.i f v + 7у"' + 1 2у" + 23у' + Юу = 0.
955.у™ + 2у‘" + 4у" + 2у' + 5у = 0.
956.ifv + y"’ + 3y" + 2y'+ y = 0.
957.i f + 2 f *+ Зу'" + 2у" + У' + У= 0.
При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
958.у", + ау',+ 2у' + у = 0'?
959.у™ + 2у"' + у" + ау' + 3у = 0'>
960.у1v + 3ут+ ау" + 2у' + у = 0?
При каких значениях а и р будут устойчивы тривиаль ные решения следующих уравнений:^
961.у,''+ау" + 2у' + $у = 0'?
962.у"' + ау" + $у' + 3у = 0'?
963.ylv +ay'" + 2yf' + $y' + y = 0?
964.Какой вид имеют условия Гурвица для возврат ного уравнения
^4 + М 3 + <Л2 + Р*+ 1 = 0 (р и <7— действительные)?
§ 27. Геометрический, критерий устойчивости (критерий Михайлова)
Пусть имеем дифференциальной уравнение п-го порядка с постоян ными вещественными коэффициентами
<*оУш + |
+ .. . ■+ апу = 0. |
(1) |
Вопрос об устойчивости решения дифференциального уравнения (I) сводится к вопросу о расположении корней характеристического уравнения
a0kn + aiXn-' + ... + an = 0 |
(2) |
на комплексной плоскости. Последний решается с помощью ниже следующего критерия Михайлова.
Пусть дан |
характеристический многочлен |
|
|
||
|
f (к) = |
Д(ЛЛ + |
а1Хл-1 + .. . + an-ik + |
ап. |
(3) |
Подставив |
в него к = /со, |
получим |
|
|
|
где |
|
/(/со) = и (со)+ /у (со), |
|
(4) |
|
и (со) = |
ап - ап_2(а2+ ал4со4 — ..., |
1 |
|
||
|
(5Г |
||||
|
и(со) = |
ал_1со —ал_3с03 + ал_6со5 —... |
) |
||
|
|
||||
Величину /(/со) согласно (4) и (5) при заданном параметре со |
|||||
можно изобразить на комплексной плоскости uOv |
в виде вектора. |
||||
Если изменять |
параметр со в |
интервале (— со, + |
00)» |
то конец этого |
вектора опишет некоторую* кривую, каждая точка которой соответст вует определенному значению со.
Полученный таким образом годограф вектора /(/со) называется кривой Михайлова для многочлена /(X) (рис. 38).
При изменении со от —оо.до + со вектор /(ко) повернется на некоторый угол ср. Если многочлен f (К) имеет т корней с положитель ными вещественными частями, а остальные п —т корней с отрицатель ными, то
Ф = (д — т) л; + т (— л) = (п —2т) л. |
(6) |
||
З а м е ч а н и е . Так |
как |
функция |
|
и (со) четная, то кривая Михайлова |
сим |
||
метрична относительно оси Ои, и поэтому |
|||
достаточно строить часть |
кривой |
Михай |
лова, отвечающую изменению параметра со от 0 до + со. Тогда формула (6) примет вид
ф = (я - т) у + т ^ ~ j ,= (п - 2т) ~ .
(7)
Для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения f(k) = 0 имели отри цательные вещественные части, т. е. в формуле (7) должно быть т —0.
Отсюда вытекает следующая формулировка к р< и т е р и я .М и х а й-
л о в а : |
для устойчивости тривиального решения уравнения (1) необхо- |
|||||||
димо и достаточно, чтобы: |
|
от 0 |
до + о о |
совершил поворот |
||||
1) |
вектор / (/со) при изменении со |
|||||||
на угол ф = п ^ 9 пг. е. сделал |
оборотов |
против |
часовой стрелки; |
|||||
2) годограф /(/со) при изменении со от 0 до |
+ оо не проходил |
|||||||
через нулевую точку. |
|
|
|
(1) необходимо и |
||||
Иначе, для устойчивости решения уравнения |
||||||||
достаточно, |
чтобы |
кривая Михайлова |
проходила поочередно п квад |
|||||
рантов |
против часовой стрелки, окружая все время начало координат. |
|||||||
Поочередное прохождение квадрантов означает, что кривая пооче |
||||||||
редно |
пересекает оси координат. Следовательно, координаты |
и (со) и |
||||||
v (со) точек |
кривой |
Михайлова |
для |
устойчивости |
решения |
должны |
поочередно обращаться в нуль. Отсюда вытекает вторая формулировка к р и т е р и я у с т о й ч и в о с т и М и х а й л о в а :
Для устойчивости решения уравнения (1) необходимо (а при усло вии, что кривая проходится против часовой стрелки —и достаточно),
чтобы все корни уравнений и (со) = |
0; v (со) = 0 были вещественными |
и перемежающимися друг с другом, |
т. е. чтобы между любыми двумя |
корнями одного из этих уравнений находился корень другого уравнения
П р и м е р . |
Исследовать |
на устойчивость тривиальное решение |
||
уравнения |
у ^ + 2у'" + 3у" + 2у’ + у = 0. |
|||
|
||||
Р е ш е н и е . |
Составляем |
характеристический многочлен |
||
Далее |
/ (К) = |
+ 2A,3 -f ЗА*+ 2 1 + \. |
||
/ (/со) = |
со4 — 2/со3 — Зсо2 2/со + 1, |
|||
|
||||
|
и (со) = |
со4 — Зсо2 -f- 1, |
||
|
v (со) = — 2со3+2ш = 2со (I — со2) = 2со (1 — со) (1 + со). |
9 М Л. Краснов и др.
Будем изменять со от 0 до + о о и построим кривую (рис. 39)
(и — и (со), \v = v (со),
|
(1) |
0 |
|
|
|
1 | / |
3 + |
Г |
6' |
|
|
|
|
и |
1 |
o ' |
|
|
— 1- |
0 |
|
|
|
|
|
|
V |
0 |
+ |
|
|
0 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
• |
lim |
и |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
со -♦ -f 00 U |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Угод поворота ради уса-вектор а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
<р = 4 у |
= (п — 2т) у . |
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
я — 2/я = 4; ,п = |
4; |
следовательно, т = 0. |
Таким |
образом, |
|||||||
все корни |
характеристического |
уравнения лежат |
в левой |
полуплос |
||||||||
|
|
|
|
|
|
кости, |
т. е. |
тривиальное |
реше |
|||
|
|
|
|
|
|
ние у = |
0 асимптотически |
устой |
||||
|
|
|
|
|
|
чиво. К этому же выводу можно |
||||||
|
|
|
|
|
|
было прийти, исходя |
из |
крите |
||||
|
|
|
|
|
|
рия Льенара—Шипара, посколь |
||||||
|
|
|
|
|
|
ку все |
коэффициенты |
характе |
||||
|
|
|
|
|
|
ристического |
уравнения |
поло |
||||
|
|
|
|
|
|
жительны и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
^л-1 — Дз — |
2 |
3 |
2 = 4 |
•О, |
||
|
Рис. |
39. |
|
|
|
|
|
O'* |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ДП_3 = Д | = 2 > 0 . |
|
||||||
Исследовать на устойчивость тривиальные решения |
||||||||||||
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
965. 2 |
+ |
4у'" + 3 / + 3у' + у = 0. |
|
|
|
|
|
|
966.3t/IV +'4у'" + 3 / + 3 / + у = 0.
967./ + 5 / v + 10у"' + 11 у" + 7у' + 2у = 0.щ
968./ v + 5 /'4 - 4 /' + 3 / + 2t/ = 0.
969. |
(/v + 2f/rv + |
2у"' + 4 6 / + 8 9 / + 260у = 0. |
970. |
//v - f / v + |
7у'" -t 4 / + 10 / + 3y = 0. |