- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
Далее имеем
V |
( - 1)* |
, |
|
(-О '" |
|
(-1 .)-2 |
|
|
|||
L i |
п- + а2 |
" |
(— л)2 + а2 |
|
(—2)2 + а2 |
|
|
||||
П |
|
|
( |
- |
1)0 |
( - |
1)1 |
( - D 2 |
|
|
|
+ |
Н |
Ц |
. . . + |
(—1)” |
, |
||||||
(—1)2 + а2 0- + Q2 ^ |
12 + а2 'т |
22 + а2 |
Я ч ^ 5 + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(— 0 я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я2 + а2’ |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
- 1)" |
|
|
(-0яL |
|
||
|
|
|
л2 + а2 |
|
|
л2 + а2 |
2а2’ |
|
|
||
а значит |
|
I = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V ( - 0 я - 1 V |
|
(~ 0Я , i |
|
|
|
|
|||||
Ал л2 + а2 |
2 |
L i |
л2 |
а2. ‘ |
2а2 |
|
|
|
|
||
1 = 0 |
|
|
л = —оо |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= _ £ _ + - L = _ L f 1+ -И 5 -' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2а sh ла ^ |
2а2 |
2а2 \ |
sh яа, |
Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
|
|
ОО |
|
( - 0 я |
|
00 |
|
|
|
412. |
^ |
|
413. |
(- 0 |
я |
|
|
||
|
|
|
(л + а )2 |
|
(2л + 1)2- |
|
|
||
|
п = — |
|
|
|
12— Г |
|
|
|
|
|
|
ОО |
(—1)л cos ап |
|
|
|
|
||
414. |
^ |
я < а < |
л. |
|
|
||||
|
/I2 + а2 |
’ |
|
|
|||||
|
П= — |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
415. |
2 |
|
( - 0 я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(л2 + а2)2 ‘ |
|
|
|
|
|
|
§ |
11. |
Логарифмический |
вычет. |
Принцип |
аргумента. |
||||
Теорема Руше |
|
|
|
|
|
||||
Логарифмической производной |
функции |
/ (г) называется функция |
|||||||
<р(г), являющаяся |
производной от логарифма функции /(г): |
||||||||
|
|
|
|
Ф (г)= [Ь п /(г)]' = ^ . |
|
|
|||
Особыми точками |
функции |
ср (г) могут быть только |
нули или особые |
||||||
точки функции / (г). |
|
|
|
|
|
||||
Вычет |
логарифмической производной функции |
/ (г) |
относительно |
||||||
точки, |
являющейся нулем |
функции / (г), равен порядку нуля, а отно |
сительно |
точки, |
являющейся |
|
полюсом |
функции,— порядку* этого |
||||||||||||||||||
полюса |
со знаком |
минус. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
П р и м е р |
1. ^Найти |
вычеты |
логарифмической |
производной функ- |
||||||||||||||||||
ции |
|
f |
ч • |
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
ее |
нулей |
и полюсов. |
|
|
|
|
|||||
|
/ (г) — |
|
- относительно |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Р е ш е н и е . |
Данная |
функция имеет бесконечное множество про |
||||||||||||||||||||
стых |
нулей |
z = kл |
|
(Л;= 0, |
± 1 , |
± 2 , |
...) |
н один |
простой |
полюс г = |
|||||||||||||
= — 1. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
res |
|
|
|
|
|
(6 = |
0. |
: t |
1, |
± 2 , |
|
|
|
res |
Ш |
=-----I |
|
||||
|
|
2 = kTt / (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
- l |
/ Й |
|
|
|
||||
|
Найти вычеты логарифмических производных данных |
||||||||||||||||||||||
функций относительно их нулей и полюсов: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
416. |
/(г) = — |
|
. _417. |
/ (г) = cos3г. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
418. |
а) |
/ (z) = |
COS 2 |
|
б) / (2г) = |
sin z. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пусть |
|
функция |
|
/ (z) ^ |
0 |
аналитична |
во |
всех |
точках |
замкнутого |
||||||||||||
контура |
С. Величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ni |
J |
f(z> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется |
|
логарифмическим |
вычетом |
функции |
j (г) |
относительно |
|||||||||||||||||
замкнутого контура |
С. |
|
|
|
|
|
|
|
в ы ч е т е . |
Пусть |
функ |
||||||||||||
ция |
Т е о р е м а |
о л о г а р и ф м и ч е с к о м |
|||||||||||||||||||||
|
I (г) |
является |
аналитической в замкнутой области D, кроме |
||||||||||||||||||||
конечного |
числа |
полюсов, |
и на границе С этой области не имеет ни |
||||||||||||||||||||
ну.гей, ни |
полюсов. Тогда'разность между числом нулей и полюсов f (г) |
||||||||||||||||||||||
в D, |
подсчитанных |
|
с их |
порядками, |
|
будет равна логарифмическому |
|||||||||||||||||
вычету функции j (z) |
относительно замкнутого контура С: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мс Чй*-*-Я, |
|
|
|
|
|
||||||||
еде N — число нулей |
/ |
(z) в Ъ, Р — число полюсов / |
(г) в D. |
|
|
||||||||||||||||||
|
Логарифмический |
вычет многочлена |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qn (г) = |
2 |
а*2* |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно |
контура |
С |
равен |
числу нулей этого многочлена (с. уче |
|||||||||||||||||||
том их кратности) в области D, ограниченной контуром С. |
/ (z) = |
||||||||||||||||||||||
|
П р и м е р |
2. |
Найти |
логарифмический |
вычет |
функции |
|||||||||||||||||
= |
ch z |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно контура C: |z; = 8. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Р е ш е н и е . |
Находим |
нули |
zk функции /(z). Для этого решаем |
|||||||||||||||||||
уравнение |
|
chz=r0 |
|
или |
ez -\-er~ = 0. |
|
Записав последнее |
уравнение |
в |
виде |
ё12 — — 1, |
найдем |
2z = |
Ln (—1) = |
(26 + |
1) ш\ так |
что гк — |
||||
= |
2k 4-1 |
0, |
± |
1, ; t |
2, ...) |
(все нули |
простые). Для нахождения |
|||||
— ij— jxi (6 = |
||||||||||||
|
• |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
или e*z = |
1. Имеем |
полюсов функции /(z) решаем уравнение eiz— 1= 0 |
||||||||||||
iz = Ln 1= 2тлГ , |
гт = |
2 т я ( т = |
0, ± 1 , |
± 2 , |
...). |
В к р у г е | г | < 8 |
||||||
находятся нули |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(й = 0. + 1. ± 2 , - 3 ) |
|
||||
и простые полюсы |
|
гт= 2тп |
(т = |
0, |
± 1 ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
функции /(г). Число нулей N = 6, число полюсов Р = 3. Следовательно
s Й £ ) dz = = 6 -3 = 3. 2Jii 1*| =8 /(*)
П р и м е р 3. Найти логарифмический вычет функции
1 + г2
|
|
|
|
|
|
|
/(*) = 1—cos 2яг |
|
|
|
|
|
|
|
||||
относительно |
окружности |г | = л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Р е ш е н и е . |
|
Полагая |
1 + г 2= 0, |
находим |
два |
простых |
нуля |
|||||||||||
функции |
/(г): ^ |
= — t, a2 = i. Полагая |
1—cos2nz = 0, найдем полюсы |
|||||||||||||||
функции |
f (z): |
zn = n, |
/1 = 0, |
± 1 , ± 2 , |
|
Кратность |
полюсов |
6 = 2. |
||||||||||
В |
круге |
| z | < |
л данная |
функция |
имеет два |
простых |
нуля |
а{ — |
||||||||||
.== — i, |
a2 = i |
и семь |
двукратных |
полюсов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Zi = |
— 3, |
z2 = |
— 2, |
z3 = |
— 1, |
z4 = |
0, |
г,ц = |
1, |
ze = 2, |
z7 = |
3. |
||||||
Итак, |
N =■ 2 |
и |
|
P —7. |
В |
силу |
теоремы о |
логарифмическом |
вычете |
|||||||||
получаем |
что |
логарифмический |
вычет данной функции / (z) относи |
|||||||||||||||
тельно окружности |
1.z | = л |
будет |
равен |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2л/ |
5= л |
т * - 2 - 7 ' 2 - |
12. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|г | |
|
|
|
|
|
|
||||||
В следующих задачах найти логарифмические вычеты |
||||||||||||||||||
данных функций относительно указанных контуров: |
|
|
||||||||||||||||
419. |
/(z) = - + - 3, |
|
|
C: | z | = 2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
420. |
/(z) = cosz + sinz, |
C: | z | = 4. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
421. |
f (z) = (e»-2)*, |
|
|
C: | z| = 8 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
422. |
/(z) = thz, |
|
|
|
C: |z|s=8 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
423. |
/ (z) = |
tgs г, |
|
|
|
C: | z| = |
6. |
|
|
|
|
|
|
|||||
424. |
/ (z) = |
1 — th22 , |
|
C : |z | = 2 . |
|
|
|
|
|
|
П р и н ц и п а р г у м е н т а . Логарифмический вычет функции f (z) относит лыт замкнутого контура С равен приращению Ас Arg / (г)
аргумента / (z) при обходе контура С, деленному на 2л:
ы У ш а г= - к Ас А^ Н г ) .
Следовательно, разность между числом нулей и полюсов функции / (г), заключенных в области D, равна
N - P = ± b c ATgf(z).
Другими словами, разность N — P равна числу оборотов, которые совершает в плоскости w вектор, идущий из точки 10= 0 в точку 10= / (z), когда точка z описывает контур С (число оборотов считается
положительным, если вектор вращается против часовой |
стрелки, |
и |
|||||||||||||||
отрицательным в противоположном случае). |
является аналитической |
||||||||||||||||
|
В частном случае, когда функция с0 = /(г) |
||||||||||||||||
в области |
D и |
на |
ее |
границе |
С, |
на |
которой |
она |
не обращается |
||||||||
в нуль, |
логарифмический |
вычет / (z) относительно С дает число нулей |
|||||||||||||||
/ (z) |
в |
D, |
которое |
равно |
изменению |
Arg/(г) |
при обходе |
контура |
С. |
||||||||
деленному |
на |
2л: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
а^гк, |
|
Это |
имеет |
место, |
например, для многочлена |
Qn (z) = |
2 |
|
|||||||||||
|
П р и м е р |
4. Найти |
число |
корней |
-в |
|
ft= о |
|
|
||||||||
|
правой |
полуплоскости |
|||||||||||||||
Re г > |
0 уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Qb(z) = z 54: z4 + 2z3 — 8z— 1= 0 . |
нулей внутри |
|||||||||||
|
Р е ш е н и е . - . В |
силу |
принципа |
аргумента |
число |
||||||||||||
контура С равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
N= ± |
дс АгИ<Ш , |
|
|
|
|
|||||
где |
контур |
С состоит |
из полуокружности |
: [ зг [ = |
/?, |
R e z > 0 , |
и |
||||||||||
ее диаметра |
на |
мнимой |
оси; |
радиус R считаем |
столь большим, что |
||||||||||||
все -нули |
многочлена |
Q6 (z), |
находящиеся |
в правой |
полуплоскости, |
||||||||||||
попадают внутрь |
полукруга | г | < |
Rt Re z > |
0- Имеем |
|
|
Отсюда
ArgQ5(2)= Arg[2s(l+I + ! - ! - l ) ] =
= Arg Л + Arg (l + 1 + |
- 1- - 1 ) = |
= 5 A rg2+ A rg (l+ ! + ! - - | - i ) -
Приращение аргумента Q6 (z) ПРИобходе в положительном направлении
полуокружности Сд будет равно |
|
|
|
|
|
% |
Аг2 (*У= 5 ДСд Arg г + д с л Arg ( I + 7 + |
| |
^ ) • |
||
Перейдем в этом равенстве к пределу при R-+co: |
|
|
|||
lim |
л св Arg& (z) = |
|
|
|
|
R - * со К |
|
|
|
|
|
|
= 5 кЧтсоДС«А'Г2 г+ л1Т 00ЛСЛ |
Arg (l4 - ] + -2 |
_ |
S . - I ) . |
|
Оба |
предела в правой части существуют |
й равны •соответственно |
|||
|
lim |
Arg г = л, |
|
|
|
|
/? |
оо |
Л |
|
|
|
|
*i!neA /? Ar* (1+ |
* + |
I - |
? ” |
-? ) - 0, |
|
||||||||||
Таким |
образом, |
|
|
lim’ |
Дс |
|
Arg С6 (г) = |
5я. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
R-+ со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
теперь |
точка |
г |
движется |
по v мнимой |
оси от z = iR до |
|||||||||||
г —— iR. Положим |
z = i7, |
— R ^ t ^ R . |
Тогда |
|
|
|
|
||||||||||
откуда |
|
Qb (U) = u(t) + iv (0 = |
i*- |
1+ |
i (t° - |
2P - |
8/), |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
U==zl*— \' |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
/П |
||||
|
|
|
|
|
|
\ |
v = fi — 2t3 —8t. |
|
|
|
|
[ 4 |
|||||
Это —параметрические |
уравнения |
линии, |
которую |
описывает точка |
|||||||||||||
w = Qb{z) |
в плоскости |
(и, |
L»)> |
когда |
точка г пробегает мнимую ось |
||||||||||||
сверху вниз. Для построения этой линии найдем |
точки ее пересечения |
||||||||||||||||
с координатными |
осями |
Ои |
н Ov. Приравняв и |
и |
и нулю, |
получим |
|||||||||||
соответственно |
|
/ 4 - 1 = 0 |
|
или |
t = ± \ , |
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
« —2*»т-8/ = 0 |
или |
/ = ± |
2, |
/ = 0. |
(3) |
|||||||||
Заметим, что уравнения (2), (3) не |
имеют общих |
корней |
(действи |
||||||||||||||
тельных), |
так |
что |
многочлен |
|
|
(г) |
не имеет нулей на мнимой оси. |
||||||||||
Следовательно, |
применение |
принципа аргумента |
к |
контуру |
законно. |
||||||||||||
Корни |
уравнений |
(2) |
и |
(3) |
располагаем |
в порядке убывания, т. е. |
впорядке обхода контура, и находим соответствующие значения и и и:
№i
1 |
2 |
15 |
0 |
2 |
1 |
0 |
—9 |
3 |
0 |
- 1 |
0 |
4 |
- 1 |
0 |
9 |
5 |
—2 |
15 |
0 |
Далее
Иш « = + г о , lim и = ± о э . /-►±оо
Эти данные позволяют построить интересующую нас линию (рис. 12). АО
и
|
|
Рис. |
12. |
|
Из рис. 12 видно, |
что вектор |
aj = |
Qft(z) повернется на угол <р = 3л |
|
в отрицательном |
направлении. Следовательно, |
|||
|
|
Дс Arg Q6 (г) = 5л — Зл = 2л, |
||
откуда число нулей |
в правой полуплоскости будет равно |
|||
|
|
N = — = 1. |
||
|
|
|
2л |
|
П р и м е р |
5. Найти число |
корней уравнения |
||
|
|
Q7 (г) = |
г" — 2г — 5 = О |
вправой полуплоскости.
Ре ш е н и е . Выбираем контур С, как указано в примере 4. Тогда
ACR Arg Q? (г) = ДС/? Arg (г7 - 2z - 5) =
Полагаем z ~ it {— R ^ t *^R). Tогда
Q? 00= «(0+ |
i v |
(0'—- 5+ * ( - A - 20» |
откуда |
u ~ — 5, |
|
( |
||
{ |
c/= |
- * 0 e+ 2). |
l |
Так как иф О , то применение принципа аргумента |
законно (Q7(z) |
|||||||
на мнимой оси не имеет |
нулей). |
Эта |
линия — прямая (рис. |
13). |
||||
|
|
|
Вектор w = Qf (г) |
делает |
пово- |
|||
|
|
|
рот |
в отрицательном направле |
||||
|
|
|
нии |
на п |
радиан. |
Значит, |
|
|
|
|
|
ДСя Ar2 Qi (*) |
7я - |
я = 6я |
|||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. данное уравнение имеет |
|||||
|
|
|
три корня в правой полуплос |
|||||
|
|
|
кости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
следующих |
урав |
||
|
|
|
нений |
определить |
число |
|||
|
|
|
корней |
в правой полупло |
||||
|
|
|
скости: |
|
|
|
|
|
425. |
z4 + 2z3 + 3z2 + z + 2 = |
0. |
426. |
г3 — 2z — 5 = 0. |
||||
427. |
z3- 4 z 2 + 5 = 0. |
428, |
2z3 — z2 —7z + 5 = 0. |
|
|
|||
429. |
z5 + 5z4 — 5 = 0. |
430, |
г12 — z + |
1 = 0. |
|
|
|
Т е о р е м а |
Р у ш е . |
Пусть функции f (г) |
и ф (г), |
аналитические |
|||||||||||
в замкнутой области D, |
ограниченной |
контуром |
С, |
во всех*точках |
|||||||||||
этого контура удовлетворяют неравенству |
/ (г) }> |
ф (z) |
Тогда их |
||||||||||||
сумма F (г) = / (г) + |
ф (г) |
и |
функция / (z) |
имеют в области D одина |
|||||||||||
ковое число нулей (с учетом их кратности). |
|
|
|
|
|
||||||||||
П р и м е р |
6. |
Найти |
число нулей функции |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
F (г) = |
г8 —4г5.+ г2— 1 |
|
|
|
|
||||||
внутри |
единичного |
круга |
\г |
< 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р е ш е н и е . |
Представим функцию F (z) в виде суммы двух функ |
||||||||||||||
ций f(z) и ф (z), которые |
выберем, например, |
так: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
/ (z)'= —4Z6, |
ф (z) = 2« + г2 — 1. |
|
|
|
||||||||
Тогда |
на окружности |z | = l |
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|||||||
|
I / (z) i = |
| —4z* | = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
| ф (z) ! = |
| z84-Z2 — 1 ! ^ |
| z8 |
+ |
z2 1+ 1 = 3 . |
|
|||||||||
Итак, |
на границе |
jz | = |
l |
круга |
выполняется |
неравенство |
| / ( z ) l > |
||||||||
> |
Функция |
/(z) = —4z5- |
имеет |
пятикратный |
нуль |
в начале |
|||||||||
координат. В силу теоремы Руше функция |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
F (z) = / (г) + ф (z) = |
z*- |
4А + |
z2 - 1 |
|
|
|
|||||||
имеет в круге |
| z | < |
1 |
пять |
нулей. Заметим, |
что возможен |
и другой |
|||||||||
выбор функций |
/ (г) |
и ф(г), |
например, |
такой: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
/ ( г ) « 2« —4Z5, |
ф (г) = |
г2 — 1. |
|
|
|
П р и м е р |
7. Определить |
число корней |
уравнения |
|
|
||||||||||||||||||
внутри |
круга ! z |
< 1 . |
|
2в~ б 2 + 1 0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Р е ш е н и е . |
Положим, |
например /(г) = 10 |
и ф (z) = 2e—6г. На |
||||||||||||||||||||
окружности |
| г | = |
1 |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
| / (г) | = |
10, |
! ф (г) 1= |
| г»—6г | ==S I г« |+ |
61 г |= 7 . |
|
|||||||||||||||
Итак, |
во всех |
точках |
окружности |
| г | = 1 |
|
выполняется неравенство |
|||||||||||||||||
| / (г) | > |
|
ф(г) |. |
Функция |
/ ( г ) = 1 0 н е |
имеет |
нулей |
внутри |
круга |
|||||||||||||||
| г ! < |
1, |
а значит, |
по |
теореме |
Руше, |
не |
имеет |
нулей и функция |
|||||||||||||||
2е—6 г+ Ю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П о л ьзу ясь |
теоремой |
Р уш е, |
найти |
число корней данны х |
|||||||||||||||||||
уравнений |
в |
у к азан н ы х |
областях:. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
431. |
г4 — Зг3 — 1 = 0 , |
|
|
|
| г | < 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 3 2 .гз-} -г-М = 0, |
|
|
|
|
| z | < i . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
433. |
г5 + га+ |
|
1 =0, |
|
|
|
|
| г | < 2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
434. |
г8 + |
6г + |
|
10 = 0, |
|
|
|
| г | < 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
435. |
27гп - 1 8 г + |
10 = 0, |
|
| г | < 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
436. |
гя — 6г* — г3 + 2 = 0, |
|
12 1< |
1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
П р и м е р |
8. Сколько |
корней |
уравнения |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г4 —5z+ 1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
находится в |
кольце |
|
1 < |
j г I < |
2? |
|
корней |
уравнения |
(4) в кольце |
||||||||||||||
Р е ш е н и е . |
Пусть |
N — число |
|||||||||||||||||||||
1 < I г j |
< |
2. |
Тогда |
N = |
N2— Nlt где Nx — число корней уравнения (4) |
||||||||||||||||||
в круге |
\г |
< 1 , |
JV2 — число корней уравнения |
(4) |
в |
круге |
| Z | < 2 |
||||||||||||||||
(N2^ N |
X). |
Нетрудно |
видеть, |
|
что |
на |
окружности |
|z | = l |
уравне |
||||||||||||||
ние (4) корней не имеет: если |
|
г | = 1 , |
то |
|
z4 —5 г + 1 1 ^ 3 . |
|
|||||||||||||||||
Для |
нахождения |
Nx возьмем / (г) = —5z, ф(г) = 24+ 1 . На окруж |
|||||||||||||||||||||
ности |
|
г | = |
1 имеем |
/ (г) |
> |
2. |
ф (z) , |
так |
как |
| / (г) | = | —5z | = 5 , |
|||||||||||||
| ф (г) |
= |
г4 + |
1 |
^ |
|
| г4 , -f 1 = |
Функция |
f |
(z) = |
—5г |
в круге |
| z | < 1 |
|||||||||||
имеет |
один |
нуль, следовательно, |
А^1= 1 . |
|
ф (z) = 1 —5z. На |
окруж |
|||||||||||||||||
Для |
нахождения |
N2 возьмем |
/(z) = z4, |
|
|||||||||||||||||||
н о с т и ^ |
| = |
2 |
имеем |
! f (z) | > |
i ф (z)', так |
как |
| / (г) | = |
| г4 | = |
24 = 16, |
||||||||||||||
| ф (г) ! = |
| 1 —Зг I ^ |
|
1 + 5 |
! z | = |
11. |
|
Функция |
/(z) = z4 |
имеет |
четыре |
|||||||||||||
корня |
в |
круге |
! z I < |
2, |
и, |
следовательно, |
N2 = 4. |
|
2 будет N = |
||||||||||||||
Число |
корней |
|
уравнения |
(4) |
|
в кольце |
1 < |
| г | < |
|||||||||||||||
= 4 - 1 = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В |
следую щ их |
|
|
задачах |
определить |
количество |
корней |
||||||||||||||||
данны х |
уравнений |
в |
у казан н ы х к ольц ах: |
|
|
|
|||||||||||||||||
437. |
4z4-2 9 z 2+ 25 = 0, |
|
2 < |
| Z |
|< 3 . |
|
|
|
|||||||||||||||
438. |
Z7- 5 |
Z4+ |
Z2- 2 = 0, |
|
1< |
Iz I< 2 . |
|
|
|
||||||||||||||
439. |
ze - 8 z + 1 0 = 0, |
|
|
|
1 < | z |< 3 . |
|
|
|
П р и м е р 9. |
Найти число корней уравнения |
|
|
|||
|
z2 — а& = 0, |
где 0 < а < ег1, |
|
|
||
в единичном круге ! z \ < |
1. |
/ (z) = z 2 и ф (г) = — аег. |
На |
окружности |
||
Р е ш е н и е . |
Положим |
|||||
*| z | = 1 имеем |
|
|
|
|
|
|
1/(2)! = |
; 22 1= |
1, |
|
е2 \ = а \ ехНУj = аех ^ |
ае < |
|
| ф (z) | = |
[— |
| = |
о |
1 |
в силу |
условий |
— |
|
|
и 0 < а < е -1. |
|
|
|
|
|
||||||||
Итак, |
| /(z) | > |
! ф(г) |, |
если |
| г ( = 1. |
Функция /(z) = z2 в круге |
|||||||||||||
| г ! < 1 |
имеет |
|
двукратный |
корень в начале координат. Следова |
||||||||||||||
тельно, |
по теореме |
Руше |
исходное |
уравнение |
в круге |
имеет два |
||||||||||||
корня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (х) = |
З а м е ч а н и е . |
Рассмотрим |
действительную |
функцию |
|||||||||||||||
~ х ? — аех. Эта функция |
на отрезке |
— |
|
|
непрерывна. Кроме |
|||||||||||||
того, |
F (—1) = |
1 — ае~1> |
0, |
так |
как |
0 < ае*1.< е“2 < |
1, |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Z7 (0) = |
— а < 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F (1)"= 1 — аг > |
0, |
|
так |
как |
а < е " 1. |
|
|
|
|
|||||||
Таким |
образом, |
на концах |
отрезков |
— |
|
|
и |
|
|
функ |
||||||||
ция F (х) |
принимает |
значения |
разных знаков. Отсюда |
следует, что |
||||||||||||||
данное |
уравнение в |
круге |
\г |
< 1 |
имеет два действительных корня |
|||||||||||||
разных |
знаков. |
|
|
задачах |
|
определить |
число корней дан |
|||||||||||
В следующих |
|
|||||||||||||||||
ных уравнений в указанных областях: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
440. |
^ |
= 2 |
(Х >1), |
| z ! < |
1. |
|
|
|
|
|
еR |
|||||||
441. |
e* = azn, |
где |
п — натуральное |
число |
|
|
||||||||||||
и | а | > ^ . |
||||||||||||||||||
| 2 | < Я . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
442. |
г2 — cosг = 0, |
| г | < 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
443. |
24 — sin2 = 0, |
|
| г | < я . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
444. |
22 + |
cht 2=0, |
|
| г | <С 0,5. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
445. |
ch г = г2 — 4г, |
| г | < |
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
446. |
2* = 4г, |
|
|
|г | < |
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
П р и м е р |
|
10. |
Найти |
число корней |
уравнения |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Х - г - е - * = 0, Я > 1 , |
|
|
|
|
|
|||||||
в правой |
полуплоскости |
Re г > |
0. |
|
|
составленный |
из |
отрезка |
||||||||||
Р е ш е н и е . |
Рассмотрим |
|
контур, |
|||||||||||||||
[-—*#, Ш] и правой |
полуокружности |z , = /?. Положим |
/( z ) = z — X |
||||||||||||||||
и ф (z)= e”z. На |
отрезке |
[— 17?, |
iR]> где z = ty, |
имеем |
|
|
|
|||||||||||
|
|
| / ( г ) | = |
iy —k \ = |
|
|
|
№ — 'к> 1, |
|
|
|||||||||
|
|
-!<р(2) ;= ! е~г ,= е-‘У, = |
1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и следовательно, |
| / (г) > |
| <р (г) |. |
|
|
|
|
|
|
|
|