- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
971.f/vu+7yvi+ 23yv+37//,v+56//'"+36//"+12g'+4y=0.
972.y™ + 3 f + W + 3y'+ y = 0.
973. |
i f v + I f |
+ |
1.8//"+ 22у’ + 1 2y = 0. |
|||
974. |
//'v + |
2//'" + 3//" + 2//' + у = 0. |
||||
975. |
f |
v + |
11f |
+ |
59//" + 1 07//' + 60// = 0. |
|
976. |
f |
v + |
5//"' + |
18//" + 53//' + |
60// = 0. |
|
977. |
//IV +6//'" + |
15//"+ 18г/' + |
10// = 0. |
|||
978. |
f |
v + |
4//"' + |
10//" + 1 2 //'+ 5// = 0. |
979.//"' + 6//" + ll//'+ 6 // = 0.
980.//iv + 7//"' + 12//" + 23//' + 10// = 0.
*981. //<v + 3//"' + 3//" + 3//' + 2// = 0.
982.//'V + 2//"' + 4y" + 2//' + 5// = 0.
983.//IV + 2//" + 8//' + 5// = 0.
984. //v + 4//,v + 5//"' + 2/,' + 4// = 0.
§ 28. ^-разбиения
Пусть имеем линейное |
дифференциальное уравнение с постоян- |
|
ными вещественными коэффициентами |
|
|
аоУш + |
а#'"-*' + - - + апу = 0. |
(1) |
Е го характеристическое уравнение имеет вид |
|
|
аа*п+ |
alZn~i + ... + ап= 0. |
(2) |
Для суждения об устойчивости решения уравнения (1) нет необходи мости вычислять корни характеристического уравнения. Достаточно лишь установить, что все они лежат в левой полуплоскости. Обычно
.встречаются две постановки этой задачи.
П е р в а я . Считая заданными все коэффициенты уравнения (1), установить, устойчиро ли решение при этих значениях коэффициентов.
В т о р а я . Считая заданными некоторые коэффициенты уравне ния (1), определить, при каких значениях других коэффициентов решение уравнения устойчиво. •
П о с т р о е н и е о б л а с т е й у с т о й ч и в о с т и
П о н я т и е о D-р а з б и е н и и. Пусть имеем характеристическое
уравнение |
(2) |
aQzn+ а$п~1+ ... + ап = 0. |
Совокупность значений коэффициентов уравнения (1) можно рас сматривать как точку л + 1-мерного пространства Rn+V Каждой точке пространства Rn+1 соответствует определенное значение коэффициентов До» 0i* •••» ал* а следовательно, и определенное значение всех корней zlt z2, ..., zn характеристического уравнения (2). Если в Rn+г суще
ствует |
такая |
область, |
что каждой ее точке соответствует |
характери |
|
стическое уравнение, |
все корни |
которого лежат в левой полуплоско |
|||
сти, то |
эта |
область |
называется |
областью устойчивости, |
а гиперпо |
верхность, ограничивающая |
ее, |
называется |
границей области устой |
|||||
чивости. |
Пусть, например, |
в |
характеристическом |
уравнении |
(2) все |
|||
коэффициенты, кроме двух, |
скажем ах и а2, — конкретные числа. |
|||||||
Предположим, |
что |
при |
некоторых определенных значениях ах и |
|||||
а2 данное |
уравнение в |
плоскости корней (т. е. в |
плоскости |
г) имеет |
||||
k корней, лежащих |
слева, и (я —k) корней, |
лежащих справа |
от мни |
мой оси (рис. 40).
На плоскости-А (плоскость параметров ах и а^ существует кривая, ограничивающая такую область (рис. 41), каждая -точка которой
к корней
определяет |
многочлен, |
также |
имеющий k корней, лежащих слева, и |
|||||
n —k корней, |
лежащих справа |
от мнимой оси. Эту область обозначим |
||||||
через 0(/г, |
n — k) (k — целое, O ^ k ^ n ) . |
|
|
|||||
Например, если характеристическое уравнение имеет третью сте |
||||||||
пень, т. е. |
п = 3, |
то в общем |
случае |
в пространстве |
коэффициентов |
|||
могут быть |
указаны области |
|
|
|
|
|||
|
|
0 (0 ,3 ), |
0( 1, 2) , 0( 2, 1) , |
0 (3 ,0 ) . |
|
|||
Область 0 (3, 0) и будет областью устойчивости. |
0 (3, 0), могут |
|||||||
Заметим, |
что |
некоторые |
области, |
в |
частности |
|||
отсутствовать. |
пространства |
коэффициентов характеристического |
||||||
Разбиение |
уравнения на области, соответствующие одному и тому же числу
корней, расположенных в левой полуплоскости |
плоскости z, чназы |
|||||
вается 0-разбиением пространства коэффициентов. |
|
|||||
Аналогично |
можно ^построить |
0-разбиение |
пространства любых |
|||
параметров, |
от |
которых *могут зависеть коэффициенты |
характеристи |
|||
ческого |
уравнения. |
|
|
коэффициенты |
||
Положим, что в характеристическом уравнении (2) |
||||||
зависят |
от |
двух параметров £ и ц |
'этими параметрами могут быть, |
|||
в частности, |
просто два коэффициента рассматриваемого уравнения). |
|||||
Рассмотрим |
семейство многочленов |
|
|
где (£, ^ — вещественные |
параметры, |
а Р, Q, R — известные |
много |
||||||||||
члены от г с вещественными коэффициентами. |
|
|
|
|
|||||||||
Задача ставится |
так: |
|
|
|
|
|
w) |
|
|
|
|||
В |
плоскости параметров |
(£, |
т]) |
(плоскость |
найти |
область |
|||||||
D (л, |
0) такую, |
что для любой |
точки |
(£, |
ц) <= D (л, 0) многочлен |
(3) |
|||||||
будет |
иметь все корни г в |
левой |
полуплоскости, |
или |
убедиться, |
что |
|||||||
такой |
области |
нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построение областей D (&, n —k) основано на следующих |
сообра |
||||||||||||
жениях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Корни |
алгебраического |
уравнения |
непрерывно зависят от его |
|||||||||
коэффициентов, |
т. е. |
если |
коэффициенты |
многочлена |
/(г, |
л) мало |
|||||||
изменить, то и корни его изменятся мало. , |
|
D (к, л —£), |
то |
||||||||||
2. |
Если |
точка |
(g, г|) |
лежит |
на границе области |
хотя бы один корень многочлена (3) лежит на мнимой оси, т. е. гра ница D-разбиения является образом мнимой оси плоскости 7.
Действительно, если, например, точка (£, |
г]) е |
D (л, 0), то много |
|||||||||||
член (3) имеет при этом все корни в левой полуплоскости. |
хотя |
бы |
|||||||||||
Если |
(£, 1]) лежит |
вне D (л, 0), то |
многочлен |
(3) имеет |
|||||||||
один |
корень в правой |
полуплоскости. |
(£, |
л) |
из |
области |
D (л, 0) |
||||||
При |
непрерывном |
движении |
точки |
||||||||||
в соседнюю непрерывно |
меняются |
корни многочлена /(z, |
£, |
rj). |
Так |
||||||||
как |
при этом появляется |
хотя |
бы один |
корень |
в правой |
полуплоско |
|||||||
сти, |
то в |
процессе изменения |
(£, л) он |
должен |
пересечь |
мнимую ось |
(ось .Оу).. Это будет, когда точка (|, rj) пересечет границу области D(n, 0).
Пусть |
г = х + iy — корень |
многочлена |
|
/(г, 4 , |
л)* |
Равенство |
||||||||
(z, €> л)= 0 равносильно |
равенствам |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(*. У) + Ч“г (х, |
у) + иа(лт, |
у) = |
0, |
|
(4) |
|||||
|
|
{i^i (х, |
У) + 11С2 (х, |
у) + 1’3 (х, |
у) = |
0, |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
где uv |
л2, и3 и vlt с2. 1'з —вещественные и мнимые |
части ^многочленов |
||||||||||||
Р, Q и R соответственно. |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если определитель системы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то система |
(4) однозначно |
разрешима |
относительно £ и гр |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
Уравнения (5) в точках, где A=^0, определяют однозначное |
||||||||||||||
отображение плоскости |
корней |
многочлена |
/(z, £, г|) |
на |
плоскость |
|||||||||
параметров (£, л)- |
|
|
неоднозначно: фиксированной |
паре значе |
||||||||||
Обратное отображение |
||||||||||||||
ний (£, л) |
отвечает, |
вообще говоря, |
л корней. |
Если |
определитель |
|||||||||
системы (4) |
в точке |
z0 = x0 + iy0 обращается |
в нуль, то система либо |
|||||||||||
несовместна, либо одно уравнение является следствием другого. |
||||||||||||||
В этом |
последнем случае на плоскости параметров w существует |
|||||||||||||
целая |
прямая, |
состоящая |
из |
точек (£, г\), |
для которых zQ= x0 + iy0 |
|||||||||
является корнем |
многочлена / (г, £, г|). Такую |
точку (*0, у0), а также |
||||||||||||
соответствующую ей |
прямую будем |
называть |
исключительными. |
Найдем на плоскости параметров (£, г)) те точки, для которых многочлен (3) имеет хотя бы один чисто мнимый корень z = iy.
Геометрическое место таких точек состоит из линии, параметри ческие уравнения которой есть
|
|
{ ^ |
m |
(—о о < ( / < + оо) |
(6) |
||
|
|
I |
П = Л(0. У) |
|
|
|
|
и которую можно |
получить, полагая х = 0 |
в уравнениях (5), а т^акже |
|||||
из |
|
исключительных |
прямых,' |
отвечающих |
исключительным |
точкам |
|
оси |
Оу (если таковые имеются). |
|
|
||||
нии |
Заметим, что |
уравнения |
(6J дают образ оси Оу при отображе |
||||
(5). |
|
|
|
|
|
||
|
|
Это геометрическое место точек, будем называть линией L. |
|
||||
|
|
Линия L разбивает плоскость параметров на некоторое число |
|||||
связных областей. |
|
|
|
|
|
||
ее |
|
Каждая из таких областей обладает тем свойством, что для любой |
|||||
точки (£, г|) многочлен /(z, |
г|) имеет одно и то же число корней, |
расположенных в'левой полуплоскости, т. е. является областью типа
D (£, n — k) ( O ^ k ^ п).
Таким образом, линия L — граница искомого D-разбиения. Рассмотрим отображение (5) плоскости корней на плоскость
параметров
|
|
|
|
|
= |
У). |
|
|
|
|
|
|
\ 4 = 4 |
(*. у)- |
|
|
|
Проведем |
через |
точку |
(дг0, у0) две линии: горизонтальную / |
й вер |
||||
тикальную |
//. |
|
Если |
направление |
поворота от / к // |
сохра |
||
О п р е д е л е н и е . |
||||||||
няется при |
отображении |
(5), |
то говорят, |
что отображение сохраняет |
||||
У, \ |
В |
' (х о,Ю |
|
|
‘* |
Л 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(хО’Уо) |
1° (хф ) |
|
|
^ = = = = ^ 7 |
|
||
|
|
|
|
|
|
(to ,1} о) 1, |
|
|
0 |
|
|
|
' х |
0 |
|
|
|
|
|
Рис. |
42. |
|
|
|
Рис. 43. |
|
ориентацию в точке (л'0, у0)\ в противном |
случае — что оно не сохра |
|||||||
няет ориентацию (рис. 42 и 43). |
|
|
|
|||||
Если |
определитель |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 . |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
дх N дх > 0 |
|
||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ду |
ду |
|
|
Ъ точке (*0, уо), то отображение (5) в точке (лг0, уп) сохраняет ориен тацию. При / < 0 ориентация нарушается. Если 7 = 0 , то вопрос
о сохранении или несохранении ориентации решают старшие произ водные. Можно показать (См. [10]), что знак определителя / совпадает со знаком определителя Д, где
так что если А > 0, то отображение с плоскости корней на плоскость параметров сохраняет ориентацию, если Д < 0 , то ориентация меняется.
Рассмотрим опять разбиение плоскости до (плоскость параметров)
па |
области D (&, |
n — k) |
( k ^ n ) |
и |
обозначим |
через L границу этих |
|||||||
областей. Положительным направлением на L будем считать ю, |
|||||||||||||
которое соответствует возрастанию у (начиная |
с // = — со); |
при этом |
|||||||||||
кривая L может состоять из нескольких ветвей, и при |
полном обходе |
||||||||||||
оси |
Оу ее участки |
могут |
проходиться по нескольку раз (не более я, |
||||||||||
где |
я —степень многочлена /( 2, |
£, i])). |
|
предположим, |
|||||||||
что |
Рассмотрим |
некоторый |
участок |
кривой L и |
|||||||||
при |
|
полном |
|
обходе |
оси Оу он |
обходится |
г раз, |
т. е. что этому |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уг' |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У?' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
' Л |
|
|
|
Рис. |
44. |
|
|
|
|
|
FHC. 45. |
|
||
участку |
|
соответствует |
г |
участков |
у ^ у § (JLL= |
1, 2..........г ) |
оси О у . |
||||||
Положим |
8^= 1, |
|
если |
направление |
у^у2 совпадает с направлением |
||||||||
оси |
Оу, |
и |
е^ = — 1 в противном |
случае. Положим также 6 ^= 1 , если |
|||||||||
на yfy* |
определитель |
Д > |
0, |
и 6Ц = —1—в противном |
случае. Пусть |
точка до, двигаясь непрерывно по некоторому достаточно малому пути,
пересекает дугу wxw2 слева направо (рис. 44). Этому |
пути в плоско |
|||||||
сти |
соответствует |
г путей, пересекающих |
отрезки |
yfy$ |
оси Оу. |
|||
Если |
бц • бм > 0, |
то |
соответствующий |
путь |
идет |
из |
левой |
полупло |
скости в правую |
и многочлен |
|
|
|
|
|
||
|
|
/(*, Б. Л) = ^ ( * ) + |
Ч 0(*)+Ж *) |
„ |
|
|
приобретает на нем один корень с положительной действительной
частью |
п |
теряет |
корень |
с отрицательной действительной |
частью; |
|
в случае |
е„ • 6Ц< |
0 — наоборот. |
|
случаях: |
||
Действительно, пусть |
ец • 6„ > 0. Это может быть в двух |
|||||
О ец = 1, |
|
2) в ц в —1, |
6Ц = —1. В первом случае направление |
|||
отрезка |
yfy^ оси |
Оу совпадает |
с положительным направлением этой |
оси (ей = 1 ) и сохраняется |
ориентация (6^=1), т. е. если в плоско |
||
сти до мы переходим дугу |
w}w2 слева направо, то и в |
плоскости z |
|
мы переходим с |
левой полуплоскости в правую (т. е. ось |
Оу пересе |
|
каем тоже слева |
направо, |
рис. 45). |
|
Во втором случае вектор y^yl} направлен в сторону, противопо
лож ную направлению б^(е^ = — 1). Так как б^ = — 1Г то ориентация в этом случае меняется, и при переходе слева направо в плоскости w мы опять получаем переход слева направо в плоскости г через ось Оу.
Аналогично |
рассматривается |
случай |
|
|
< 0. |
L на пра |
|||||||
Итак, при переходе с левой стороны дуги |
WjW2 кривой |
||||||||||||
вую сторону многочлен /(z, |
£, |
rj) |
теряет |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
N = |
|
+ |
е262 + .. . + |
ггдг |
|
||||
корней с отрицательной действительной частью. |
f (z) — z3 -f- |
||||||||||||
П р и м е р |
|
В ы ш н ё г р а д с к о г о . |
Дан |
многочлен |
|||||||||
-j- £z2+ |
+ |
1• |
Найти область |
О (3, 0). |
|
|
|
|
|||||
Р е ш е н и е . |
Полагая z = |
iy и разделяя действительную и мнимую |
|||||||||||
части, |
найдем |
параметрические |
уравнения |
кривой L: |
|
||||||||
|
|
|
|
1 = |
^ , |
П=</2- |
|
|
|
||||
Это —лежащая |
|
в первом квадранте ветвь гиперболы |
При пол |
||||||||||
ном обходе |
оси Оу (у меняется |
от |
—со до |
+ о о ) гипербола описы |
|||||||||
вается |
два |
раза; т. е. г — 2; |
при этом |
один |
раз гипербола |
проходится |
|||||||
в одном направлении при изменении |
у |
от |
—со до 0. |
|
При дальнейшем изменении у от 0 до + со гипербола проходится второй раз, но уже в противоположном направлении. Таким образом,
отрезку wvw2 |
кривой |
L отвечают два |
отрезка оси Оу: |
у[у\ и |
y'jy'i |
|||||
(рис. 46 и 47). |
Определитель |
А. на оси |
Оу равен Д = — у*. Следова |
|||||||
тельно, 61= \ |
(ибо при i i = l |
у< 0), а б2 = |
—1 (ибо при |
ц = |
2 у >0 ) . |
|||||
При |
переходе точки |
w через |
wxw2 слева |
направо теряется |
N корней |
|||||
с отрицательной частью, где |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
iV = |
e16l + e262 = |
2. |
|
|
|
||
В начале координат |
5 = т)= 0 |
многочлен |
/(z) принимает |
вид & + \ и |
||||||
имеет |
|
, |
z2.3 = |
i + i У г |
следовательно, |
область |
под |
|||
корни z1= —1, |
------^------ * |
гиперболой есть 0(1, 2). Область над гиперболой есть область 0(3,0). В самом деле, при переходе из этой области в 0 (1 , 2) многочлен /(г)