- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
|
3) |
|
Если |
g(n) = u (п) sh ап |
или |
g (п) = и (п) ch ап, то |
частное ре |
||||
шение |
ищется |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
J (п) = й (п) sh an + й (п) ch ап. |
|
|||||
|
Здесь и |
п. 2) й (п) и й (п) — многочлены, степень которых опре |
|||||||||
деляется по правилу, указанному в п. |
I). |
|
|||||||||
|
П р и м е р |
5. Найти общее решение уравнения |
|
||||||||
|
|
|
|
/ (я + 2) - 4/ (я + |
1) + |
3/ (п) ^ 2 Я ( я + 1). |
(8) |
||||
|
Р е ш е н и е . |
Характеристическое |
уравнение Я,2 — 4Я, + 3 = 0 имеет |
||||||||
корни |
^ |
= 3, |
Я,2= 1 . |
Общее решение |
соответствующего однородного |
||||||
уравнения |
|
|
/ (п) = |
|
|
|
* |
|
|||
|
|
|
|
|
|
С1 • 3я + |
С2. |
|
|||
Так |
как |
число |
2 |
не |
является |
корнем |
|
характеристического уравне |
|||
ния, |
то частное решение неоднородного |
уравнения ищем в виде |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
-Г(я) = |
2*(Л я+ А ), |
(9) |
|||
где |
А |
и |
В — неопределенные |
коэффициенты. Подставляя (9) |
в (8), |
||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2Я+3 (Ап + 2А + В) — 4 • 2Я+1 (Ап + А + |
В) + 3 • 2я (Ап + В) = 2я (я + 1) |
или
4(Ля + 2Л + Я )-8(Л я + Л + В)+3(Ля + Д) = я+1.
Отсюда находим
4 Л - 8 Л + З Л = 1, 8Л + 4 В - 8 Л - 8 В + ЗД=1,
так что Л = —.1, В = —1.
Таким образом, частное решение данного уравнения
1(п)——2я (я+1);
общее решение
f(ti) = Cx• Зя + С2 —2я (/2+1).
Вследующих задачах найти общие решения данных неоднородных линейных разностных уравнений:
1003. |
/ (л+ 2) — 2/ (n+ 1) — / (п) = п. |
|
|
|||||
1004. |
/ (/t + |
2) + |
2/ ( л |
+ |
I ) + / ( « ) |
= 3 " • 32, / ( 0 ) |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (1)==0. |
1005. |
/(л + |
2) + / ( « ) - sin2«, /(0) = 0, |
/(1) = |
1. |
||||
1006. |
/ (я + |
3) - |
3/ (я + |
2) + 3/ (я + 1) - |
/ (л) = е\ |
|||
1007. |
/(« + 3 ) + 8/ (я) = 2Л. |
|
|
|
||||
III. У с т о й ч и в о с т ь |
р е ш е н и й |
р а з н о с т н ы х |
у р а в н е |
|||||
ний . Решение f* (п) |
разностного уравнения порядка /г, удовлетво |
|||||||
ряющее начальным, условиям |
|
|
|
|
|
|||
|
/♦ (0 )= /* |
/* (!)= /,* .........f *( k - l ) =f *k_v |
|
называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
такое, |
что |
для |
любого |
решения / (я) |
уравнения (I), |
удовлетворяю |
||||
щего начальным |
условиям |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f(0) = fo, |
/(D |
= /i. .... |
/ ( * - D = / A- I , |
|
||||
из совокупности |
неравенств |
|
|
|
|
|
|
|||
|
\ f o - f i \ < & , |
|
< б , |
|
|/* _1- / L |
1 | < 6 |
||||
следует |
неравенство | / (п) —/* (п) | < |
е |
при |
любом |
0 |
0. |
||||
Если |
при |
сколь |
угодно |
малом |
б (е) > |
неравенство |
||||
I / (n) —f* (п) ! < |
6 не выполняется для какого-либо решения /(я), то |
|||||||||
решение /* (я) называется неустойчивым. |
| f (я) —/* (я) | < е выпол |
|||||||||
Если |
кроме |
выполнения |
неравенства |
|||||||
няется |
также условие |
lim [ /( я ) - /* ’ (я)] = |
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
п -+ 00 |
|
|
|
|
|
|
то решение /* (п) называется асимптотически устойчивым.
Исследование на устойчивость решения /* (п) неоднородного линейного разностного уравнения
/(п + ф + а,/ (n + k — 1) + ... + а* /(я )= £ (л )
с помощью замены ц>(п) = ( (п) —[* (п) сводится к исследованию устойчивости нулевого (тривиального) решения однородного урав нения
|
|
|
ф (п + |
Щ+ |
<?1ф (п + ^ — !) + |
••• + |
|
а *ф (л ) = |
0. |
|
||||||||||
В дальнейшем |
мы |
ограничимся |
исследованием |
устойчивости только |
||||||||||||||||
тривиальных решений однородных |
уравнений. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
П р и м е р |
6. |
Исходя |
из |
определения |
устойчивости |
разностного |
|||||||||||||
уравнения, исследовать |
на |
устойчивость |
решение уравнения |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2/ (п + 2) — 2/ (я + |
1) + / (я) = |
о, |
|
|
|
(10) |
||||||||
удовлетворяющее |
начальным условиям / (0) = 0, |
/(1) = 0. |
|
|||||||||||||||||
|
Р е ш е н и е . |
|
Решение данного |
уравнения, |
удовлетворяющее на |
|||||||||||||||
чальным |
условиям |
/ (0) = 0, |
/ (1) = 0, |
есть |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ибо |
из |
(10) |
|
|
|
|
|
/(") = о, |
* |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
/(n + 2) = / ( « + О — 2 / И - |
|
|
|
|
|
|||||||||
Любое |
решение |
этого уравнения, |
удовлетворяющее |
условиям f (0) = |
||||||||||||||||
— /о> / (l ) = /i> |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
I* (") = -^J2 ро cos 7 |
+ '(/i - |
/о) sin J |
j . |
|
|
||||||||||||
Возьмем |
произвольное |
е > 0 |
и |
покажем, |
|
что |
существует 6 ( е ) > 0 |
|||||||||||||
*такое, |
что при |
|
| /0 —0 | < |
б |
и |
| f1 —0 j < б |
имеет |
место |
неравенство |
|||||||||||
|
|
|
Ю—/• («) |
1 |
|
г |
|
ЯЛ |
I |
/г |
|
г \ |
• |
ял |
< |
е |
||||
|
|
|
2 л /2 |
/о C O S — |
+ |
( / i — |
/о ) |
S in |
— |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
для |
всех |
я ^ 0 . |
|
Это и будет означать согласно |
определению, что |
|||||||||||||||
нулевое |
решение /* (я) = 0 |
устойчиво. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
что |
пп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г |
П71 . |
/I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
fо cos т |
+ |
(/, - - fо) sin |
|
l/ol + l/i-/ol |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2"/® |
|
|
|
|
|
2п/г |
~- |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
I /о l-H A —A i ■5 ! in !+ |
A | + |
l /о I; |
; 2( i f „i +! / , I) |
|||||||
для |
всех |
n ^ O . |
Поэтому, |
если |
I /о + |
A I < |
у |
. |
то |
и подавно |
||||||
10 —/ * ( я ) | |
< |
е |
для всех л $ : 0. |
Следовательно, |
если, |
например, |
||||||||||
|
|
|
g |
|
то |
при |
| /0 \ < |
5 |
и |
| /! I < |
б будет выполняться нера |
|||||
взять б(е) = — , |
||||||||||||||||
венство |
] О — f* (я) ( <с е |
для |
всех |
п ^ 0, |
так |
что нулевое решение |
||||||||||
данного |
уравнения |
устойчиво. |
Эта |
устойчивость |
асимптотическая, |
|||||||||||
так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
. |
/Ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
[О — /* |
(Л)] — — lim |
/о |
C0S |
“ У + ( / l * -/о) |
sin |
-£ |
= 0. |
|||||||
|
|
|
|
2П/2 |
|
|
|
|||||||||
|
П-+00 |
|
|
|
Л-*-00 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Исходя |
из |
определения |
устойчивости, |
исследовать на |
устойчивость нулевые решения следующих разностных уравнений:
1008. 8/ (/? + 2) + 2/ (я + 1) — / (п) = 0.
1009. f(n + 2) + f(n) = 0.
1010'. 4/(л + 2)-4/(/7 + 1) + /(/2) = 0. 1011. / (л + 2) — 6/ (я + 1) — 7/ (/г) = 0.
Для исследования на устойчивость нулевого решения f(n) = О
уравнения (1) пользуются следующим общим правилом |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1. |
Если |
все корни |
характеристического уравнения (2) по модулю |
|||||||||||||
меньше |
единицы, |
то |
решение / (п) = |
0 уравнения |
(1) |
асимптотически |
|||||||||||
устойчиво. |
хотя |
бы |
один |
корень |
характеристического |
уравнения |
|||||||||||
по |
2. |
Если |
|||||||||||||||
модулю |
больше |
единицы, |
то решение /(л) = 0 |
неустойчиво. |
корни |
||||||||||||
с |
3. |
Если |
характеристическое |
уравнение |
имеет |
простые |
|||||||||||
модулями, |
равными |
единице, |
а остальные |
корни, |
если |
они |
есть, |
||||||||||
по |
модулю |
меньше |
единицы, |
то |
решение f {п) = |
0 устойчиво, |
но не |
||||||||||
асимптотически. |
|
|
|
|
|
|
|
хотя бы один крат |
|||||||||
|
4. Если характеристическое уравнение име.ет |
||||||||||||||||
ный корень с модулем, -равным единице, то решение |
/ (п) = |
0 не |
|||||||||||||||
устойчиво. |
|
правило сводит вопрос об устойчивости |
нулевого |
ре |
|||||||||||||
|
Указанное |
||||||||||||||||
шения |
уравнения |
(1) к выяснению того, каковы |
модули корней |
ха |
|||||||||||||
рактеристического |
уравнения |
(2). |
на |
устойчивость |
нулевое |
решение |
|||||||||||
|
П р и м е р |
7. |
|
Исследовать |
|||||||||||||
/ (п) = |
0 уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2/(п + 2 ) - 2 /( п + 1 ) + /( п ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Р е ш е н и е , |
Составляем |
характеристическое |
уравнение |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2Л2 —2Я-Ы = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
1 ± i
Его корни Яь 2 = —2~~ • Имеем
1 ± i
|^1. 2 I —
~ V 2 < U
Следовательно, решение /(л) = 0 этого уравнения асимптотически устойчиво.
П р и м е р 8. Исследовать на устойчивость нулевое решение
уравнения
f ( r i + 2 ) - 2 f ( n + \ ) + bf(n) = 0.
Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение
Х°--2Х + 5= 0
имеет корни
^ = 1 + 2 * , Я2= 1 —2/.
Имеем
|Хх | = | | = | 1 ±.2i \ = К б > Г.
Оба корня по модулю больше единицы, значит, решение /(л) = О неустойчиво.
Известно, что функция
я = ^ ± | -
W — 1
отображает внутренность единичного круга плоскости X _на левую полуплоскость плоскости w. Корням характеристического уравне ния (2), лежащим внутри единичного круга \ X i < 1 (т. е. по модулю меньшим единицы), будут соответствовать корни преобразованного уравнения
(до+ l)* + |
0, (щ-(- 1)*”* |
— 1) + |
... + |
Ц* (оу— 1)л = 0 |
|
|||||||
или |
|
|
|
+ 6 1ш*-1 + |
... + |
Ьл = |
0, |
|
(\\) |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
лежащие в левой полуплоскости плоскости w. |
(11) может быть ре |
|||||||||||
Вопрос о расположении |
корней |
уравнения |
||||||||||
шен с помощью |
критерия |
Рауса — Гурвица или критерия Михайлова. |
||||||||||
П р и м е р |
9. |
Найти |
необходимые |
и достаточные условия |
того, |
|||||||
что корни |
характеристического |
уравнения |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Х~-{“Q^X-j- |
= |
0 |
|
|
(12) |
|||
находятся |
в единичном круге ] Я | < |
1. |
|
|
|
|
||||||
Р е ш е н и е . |
Полагаем |
X = |
|
- |
Тогда |
уравнение (12) |
при |
|||||
мет вид |
(w+ I)2 + aY(w+ I) ( ш - 1) + а2 ( ш - 1)2 = 0 |
|
||||||||||
или |
|
|||||||||||
( \ + a l + a2)w n- + (2 — 2a2) w + (l — а2+ д 2) = 0. |
(13) |
|||||||||||
|
||||||||||||
К многочлену |
(13) |
применяем |
критерий |
Рауса —Гурвица |
(см, |
|||||||
§ 26). Матрица |
Гурвица имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
/2-—2д2 |
1"Ь^1“г^2\ |
|
|
|
|||||
|
|
|
\ |
0 |
|
1 -^ 1 + ^ /* |
|
|
|