- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
Решить интегральные уравнения:
X
798. \ е х- ‘< р ( 0 ф = х .
О
х
799. $ Ja (х —t) Ф (/) dt = sin X.
о
X
800. J cos (x — t) ф (t)dt = sin x. o.
X
801. $ (t) dt = sin x.
о
X
802. $ cos {x — 0'Ф (0 dt = x + x 2.
о
X
803. \ e 2 '-x - ‘)q ( t ) d t = x 2ex .
0 x
804.ch (x — i) ф (/) dt = sh x.
о
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
805. § ch ( x ^ |
t) cp'(t) dt = x . |
|
|
|
|
|
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указанный |
метод |
решения |
уравнений |
(4), (11) приложим |
также |
|||||||
к системам интегральных уравнений Вольтерра вида |
|
|
||||||||||
Ф< (* )= /; (*) + 2 |
5 Kik (* - |
О Ф* (О di |
( /= 1, 2, |
s). |
(12) |
|||||||
|
|
|
/г = 1 О |
|
|
|
|
|
|
|
||
Применяя |
к обеим |
частям |
(12) |
преобразование |
Лапласа, |
получим |
||||||
|
ф/ (Р) = |
Ft (Р) + |
2 |
Uh (р) ф* (Р) |
|
(< = |
1 ,2 .........s). |
|
||||
|
|
|
|
|
/г = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Решая |
эту |
систему |
уравнений, линейную относительно Ф,- (р)> найдем |
|||||||||
Фj ( p ) |
( / = 1, 2, ..., |
s), |
оригиналы для |
которых |
и будут |
решением |
||||||
исходной системы интегральных уравнений ( 12). |
уравнений |
|
|
|||||||||
П р и м е р |
2. Решить .систему интегральных |
|
|
|||||||||
|
|
Ф1 М = X+ $ |
|
(/) dt + |
])(« —о ф2 (0 dt, |
|
|
оо
X X
Ф2 (* )= 1 sh (x — t) q>! (() d t —j е<*-'>ср2 (/) dt.
Р е ш е н и е . |
Переходя |
к |
изображениям |
и используя |
теорему |
|||||||||
о свертке, получим |
(<Dj (р) = |
фх (л:), Ф2 (р) === ф2 (*)) |
|
|||||||||||
|
[ |
|
(р) = ^ |
|
|
|
(р ) + р1 ф 2 (р) , |
|
||||||
откуда |
\ |
Ф2 (Р) = |
j |
+ у = т |
ф ‘ (р) - р = Т |
ф * (р)> |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
Р2+ Р - 1 |
|
^ |
,_ч |
|
рЗ—р2+ 1 |
|
||||||
<М р ) |
Р(р - 1)(Р2+1) |
’ |
|
*W |
(р— 1) ( Р + 1) (Р 2 + |
1) * |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
Находим |
оригиналы для |
Фх (р) |
и Ф2 (р): |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
, |
ч |
|
1 , |
1 |
v , |
1 |
• |
|
3 |
C0S*' |
|
|
|
|
<Pi(*) = |
1 + - 2 e |
+ |
2" SI" * ~ |
2 |
|
||||||
|
|
|
ф2 (*) = |
(cos x + ch x) — sin x. |
|
|
||||||||
Система |
функций |
ф! (х) |
и |
ф2 (х) |
является |
решением |
исходной |
|||||||
системы |
интегральных |
уравнений. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Решить |
следующие системы интегральных уравнений: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
ф 1 ( X ) = |
1 - 2 ] е 2 |
|
|
( 0 d t + |
] ф 2 ( t ) d t , |
|
||||||
8 0 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф 2 (х ) — 4 х — $ фх ( t ) d t + 4 $ ( х — t ) ф 2 ( 0 d t . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
Фг W = е х + ] Ф 1 ( 0 d t - ] |
е (* - ' 'ф 2 ( 0 d t , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
о |
|
|
|
|
8 0 7 . |
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф 2 W |
= |
— X - |
5 ( X - |
1) |
ф , ( 0 d t |
+ |
\<f>t ( t ) d t . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
Ф 1 ( х ) — х + \ Ф 1 ( 0 d t + J ( х — t ) ф г ( 0 d t 9 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
8 0 8 . |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
ср2 ( х ) = |
1 |
— |
J e { x ~n (pi |
( t ) d t |
+ $ cp2 |
( t ) d t . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
о |
|
|
|
X X
Ф 1 (A-) = e x — $ ф , ( t ) d t - \ - 4 ^ е ( х - ‘ \ о ( t ) d t ,
оо
ф 2 (A ) = 1 - $ « г (* - <5ф 1 ( t ) d t + \ ф 2 ( t ) d t .
' |
X |
|
X. |
ф] (х) = 2х — \(х — t) ф! (t) dt +J\ ф2 (t) dt, |
|||
810. |
о |
|
о |
|
|
|
|
ф2 (х) = - 2 |
- |
4 \ ф1 (Оdt + 3 1 (х - 1) ф2 (Оdt. |
|
|
|
о |
о |
Ф1 (х) = 2 — $ (х — /) Фг (О dt — 4 ^ ф2 (/) dt,
о о
’ 8 U -
Фа (х) = 1 — ^ ф1 (О Л — $'(* — О Фг (О dt-
оо
§19. Дифференциальные уравнения
сзапаздывающим аргументом
В ряде технических задач приходится иметь дело с дифференци альными уравнениями, в которые неизвестная функция входит при различных значениях аргумента, например:
|
|
х(0 = Ф(/, *(0, |
|
|
|
(О |
||
|
|
|
|
х(/). |
х (/—х(/))в i ( / - T |
(/))), |
(2) |
|
|
|
* (О = ф (/, |
X (/), |
i (О, * (I - т! (/)), |
х (/ т2 (/))). |
(3) |
||
Такие |
уравнения |
называются |
дифференциальными уравнениями |
|||||
с отклоняющимися |
аргументами. |
Если т, (/)■—постоянные, то |
мы |
|||||
имеем так |
называемое |
дифференциально-разностное уравнение. Если |
||||||
т/ > 0 и |
старшая |
производная входит в дифференциально-разностное |
||||||
уравнение только при одном значении аргумента, не меньшем |
всех |
|||||||
других |
аргументов |
функций |
и производных, |
входящих в уравнение, |
то уравнение называется дифференциальным уравнением с запаздываю щим аргументом.
|
Пусть дано дифференциальное |
уравнение с запаздывающим аргу |
||||||||||
ментом с постоянными» коэффициентами: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
п — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*,я ,(0 = |
2 |
в* * '* * (< -т* )+ /(о . |
|
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
/г —О |
|
|
|
|
|
|
|
где dk = |
const, Tk = |
const ^ |
О |
(0 < |
t < + oo). Возьмем |
ради |
простоты |
|||||
нулевые |
начальные |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
х(0) = х' (0) = ... = |
(0) = 0. |
|
|
(5) |
|||||
При |
этом |
мы полагаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
*(/) = / |
(/) = . , . = х(п~т1>^t) == 0 |
для |
t < |
0. |
|
|
|||
Применяя |
к обеим |
частям |
(4) преобразование Лапласа |
и |
пользуясь |
|||||||
при |
этом |
теоремой |
запаздывания |
(см, § |
14), |
получим |
операторное |
уравнение для |
X (p)r~x(t): |
|
|
п — 1 |
|
РПХ(Р)= |
22 ahPkX {p )e~ XkP+F(p), где F {p)~f(t), |
(6) |
откуда |
k = 0 |
|
|
|
*(/>)==--------------------- |
(7) |
Рп— 2 |
акР"е Т*Р |
4 = 0 |
|
Находя *(/) —оригинал для X (р), -определяемого формулой (7), полу |
чаем решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (5).
|
П р и м е р |
1. |
|
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
* '( * ) « * ( * - D + 1, * ( 0) = 0. |
|
|
||||||
|
Р е ш е н и е . |
Переходя к |
изображениям, |
получим |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
рХ (Р) = Х ( Р ) |
е-Р + ~ |
, |
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у / |
\ _ 1 |
, |
1 |
|
_ |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
w |
р р - е гР |
|
Р2 { __<гР |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Р |
1 |
е~Р |
|
е~2р |
е -лр |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Для |
x(t) |
получаем |
|
Р‘ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x(t) = tT) (t) + ± « - |
I )3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
( '- « ) Л+1П(< -« ) + |
. .. = |
2 |
|
(<-»)• |
|
|||||
|
|
( п + 1)1 |
|
|
||||||||||
|
Решить следующие уравнения: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
812. |
x " ( t ) - x ( t - l ) = tJ |
|
|
|
|
* ( 0 ) = х ' (0 ) = 0 . |
|||||||
|
813. х"(0 —2JC' (<—1) = ^, |
|
|
|
|
х(0) = х' (0) = 0. |
||||||||
|
814. |
х"(t) = 2x' (t— \) — x(t —2) |
|
|
* ( 0) = * ' (0 ) = 0 . |
|||||||||
|
815. |
хГ (t) + 2x* ( t - 2 ) + x ( t - A ) = t, |
х(0) = х' (0) = 0. |
|||||||||||
|
Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, |
|||||||||||||
описывающих |
процесс |
с последействием, |
часто встречаются задачи |
в |
||||||||||
следующей |
постановке: |
|
х (t) для t ^ |
t 0, причем для всех |
|
|||||||||
для |
Найти |
решение уравнения |
|
|||||||||||
которых |
значения |
х (/) влияют |
на |
последующие значения реше |
||||||||||
ния |
при |
|
0, функция x(t) задается. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Так, |
например, |
ставится задача: |
найти непрерывное решение х (t) |
||||||||||
при |
t ^ /0 уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
X |
= |
x(t), |
х (t — т)), |
т > 0 = const, |
|
|||||
если.дано, |
что * (0 = ф (0 Для |
^р — |
|
|
|
|
|
|
Здесь ср (() — заданная непрерывная функция, называемая начадЬ* ной функцией. Отрезок [/0—т, /0], на котором задается функция (р называется начальным множеством.
Решение линейного уравнения (4) с постоянными коэффициентами и постоянным запаздыванием в случае, когда начальная фун^ц^я отлична от тождественного нуля, также можно искать, используя преобразование Лапласа. Покажем это на примере.
П р и м е р 2. Решить уравнение
*'(/) = *(/-1), cp(0 = lf —
Р е ш е н и е .
* (0 .=• X (р), |
(о = • р х ( р ) - х (0) = р к (р) - 1. |
Применяя к обеим частям исходного уравнения преобразование Jjai\- ласа, найдем
0 0
рАГ (р) — I = ^ erP‘x ( t - \ ) d t .
Делая замену |
переменных |
1 = г, получим |
|
0 0 |
00 |
trP '*+!>* (г) |
= |
j e-P'jt (<-l)d/= |
j |
||
|
|
0 |
oo |
=erP |
lj е~Ргх{2) <fe-f e-Pj e~P*x(z)dz= |
||
|
|
|
g-pl I 2 = 0 |
|
|
|
= e‘ p ^ L _ 1 + ^ w - |
так как x (z )= 1 для |
— I |
Окончательно |
p X { p ) - \ = —l f l + e - P X ( p ) .
Отсюда
Х{ р). |
1 |
+ |
1— e - P |
1 |
1 —e-P |
|
p -e -P |
p ( p — e~P) |
p ^ _ e Z |
f . y |
|||
|
= £(1+T + 1?+ - +1F +-)+ |
|||||
+ ( i ^ £ Z ) ( 1 |
+ ? + . . . + |
^ |
+ ...) = |
||
|
|
|
|
|
<r*P |
|
• ==7 |
+ |
^ |
+ |
7 Г + - ' ft+2 T - ... |
Находя оригинал для X (p), |
получаем |
решение |
исходного уравнения |