- •Сергель О. С.
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. СОВЕРШЕННЫЙ ГАЗ
- •1.2. МОЛЕКУЛЯРНОЕ СТРОЕНИЕ
- •1.3. СПЛОШНОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •1.4. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКИЙ ОБЪЕМ
- •1.5. ВЯЗКОСТЬ ИЛИ ВНУТРЕННЕЕ
- •ТРЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
- •1.6. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •ГИДРОСТАТИКА
- •2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
- •2.2. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ
- •2.3. АБСОЛЮТНОЕ РАВНОВЕСИЕ
- •НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ
- •2.4. СИЛА ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
- •2.7. РАВНОВЕСИЕ КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ
- •2.8. РАВНОВЕСИЕ ГАЗОВ. МЕЖДУНАРОДНАЯ СТАНДАРТНАЯ АТМОСФЕРА
- •КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
- •3.1. МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •dxlu^dyl'0—dzl'w. (3.9)
- •3.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
- •3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
- •3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
- •3.9. СИНТЕЗИРОВАНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ
- •ИЗ ПРОСТЕЙШИХ
- •3.10. О МЕТОДЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
- •4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.3. СИЛА ТЯГИ РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ*
- •4.4. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)
- •4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
- •4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ
- •4.10. ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
- •4.11. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •4.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •5.1. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
- •5.2. ТРИ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
- •5.3. КРИТЕРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
- •5.4. КРИТЕРИИ ТЕПЛОВОГО ПОДОБИЯ
- •5.5. СОСТАВЛЕНИЕ КРИТЕРИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
- •5.6. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •6.2. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
- •6.3. ПУЛЬСАЦИОННОЕ И ОСРЕДНЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
- •6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ (КАЖУЩИЕСЯ) ТУРБУЛЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
- •6.5. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
- •6.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ЧИСЛУ РЕЙНОЛЬДСА
- •6.7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
- •ЛАМИНАРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРАВЛИКИ)
- •7.1. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
- •7.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКОВ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ
- •7.3. О ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ
- •8.1. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
- •8.2. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
- •8.3. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ
- •8.4. РАСЧЕТ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В ТРУБАХ С НЕКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
- •9.3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
- •ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
- •10.1. ПРОСТОЙ ТРУБОПРОВОД
- •10.2. СЛОЖНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •11.1. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ ИЛИ УРАВНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ.
- •11.2. ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ
- •11.5. ЗАКОН ОБРАЩЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИИ
- •11.6. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЙ ГАЗОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧИСЛАМ
- •11.7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ (ЗВУКОВЫХ) ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
- •СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ (УДАРНЫЕ ВОЛНЫ)
- •12.1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •12.2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •ПОТОКАХ
- •12.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ОТРАЖЕНИЕ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
- •ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК
- •14Л. РАСХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.3. ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ТРЕНИЯ
- •14.5. КОМБИНИРОВАННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
- •15.5. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ НА ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
- •15.7. РЕАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СУЖАЮЩИХ СОПЛАХ И СОПЛАХ ЛАВАЛЯ
- •Глава 16 ДИФФУЗОРЫ
- •16.2. ДИФФУЗОРЫ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ
- •16.3. СВЕРХЗВУКОВЫЕ ДИФФУЗОРЫ
- •ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ
- •18.4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ДЛЯ РЕШЕТОК
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 8
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В ТРУБАХ. ПРИСТЕНОЧНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Турбулентные течения в трубах наиболее часто встречаются в технике, .имеют большое практическое значение и им посвящены многочисленные исследования. Опыты показывают, что влияние стенки на характеристики турбулентных течений настолько вели ко, что пристеночные турбулентные течения в каналах и в турбу лентных пограничных слоях обтекаемых тел имеют много общих фундаментальных закономерностей. При ламинарном течении в трубе поле течения однородно —определяется только молекуляр ным трением. Формулы поля скоростей н/ит ах=(1—r2/R2) и зако на сопротивления £TP = 64/Re получены чисто теоретическим путем из решения уравнений неразрывности и Навье—Стокса (см. л. 7.1). При турбулентном режиме течения также существует однозначная связь между полем скоростей и законом сопротивления. Однако эти зависимости получить теоретически пока невозможно: либо поле скоростей, либо закон сопротивления должны быть получены из эксперимента.
8.1. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
Рассмотрим турбулентное течение при Re>ReKp в цилиндричес кой прямой трубе за участком гидродинамической стабилизации, длина которого по данным различных -исследователей составляет 25... 100 калибров. Турбулентный пограничный слой сомкнут на оси и радиус трубы R можно рассматривать как толщину б турбу лентного пограничного слоя на плоской пластине. Ось х направим по стенке в направлении течения, ось у —'перпендикулярно к ней и по направлению к оси трубы. Введем обозначения: г —текущий радиус, отсчитываемый от оси трубы; и —осредненная во времени текущая скорость, неизменная -вдоль оси трубы; иср— среднерас ходная скорость; птах — скорость на оси трубы.
Течение в турбулентном пограничном слое, вследствие влияния стенки, неоднородно и может быть разделено на три качественно различных концентрических слоя: ламинарный подслой, переход ный слой и слой полностью развитого турбулентного течения, каж дый со своим законом распределения скоростей и законом сопро тивления.
1. Л а м и н а р н ы й п о д с л о й т о л щ и н о й 6Л, т е к у щ и й
у с а м о й стенки. На стенке и = О (условие прилипания). Кро
ме того, стенка гасит |
все турбулентные пульсации u' = v' = 0 (усло |
вие непроницаемости |
и прилипания). Поэтому на стенке кажуще |
еся турбулентное напряжение трения тт= — Q V ' U ' = 0 и действует только молекулярное трение xs = тм + тт + Т м = |ы{du/dy)w. В непос редственной близости от стенки на толщине бл пульсационные сос тавляющие исчезающе малы и турбулентное трение пренебрежи мо по сравнению с молекулярным. Таким образом в ламинарном подслое турбулентного пограничного слоя течение является лами нарным и перенос всех субстанций имеет, в основном, молекуляр ный механизм. Все сказанное можно записать в виде граничных условий ламинарного подслоя
y= 0 {r= R )\ и = 0; u' = v' = 0; x = x w = ^{du/dy)w\
(8- 1)
у=Ьл (r= R -K )\ и—ич, u'xzO, v'zzO, x ^ x w=\i.(du/dy)w.
Толщина ламинарного подслоя настолько мала |
(6Л«0,01 R ), что |
с трудом измеряется в экспериментах. Однако |
ламинарный под |
слой имеет решающее влияние на развитие течения и особенно на сопротивление, так как определяет касательные напряжения на стенке. На толщине ламинарного подслоя скорость ламинарного течения возрастает от 0 до ил по линейному закону
« = |
(8-2) |
и на границе у = 8л достигает очень большой величины ил ж0,5итах. Вследствие линейности поля скоростей напряжение трения в лами нарном подслое постоянно
|
^м— ^w = \кил/^л== |
|
|
|
(8.3) |
|||
2. П е р е х о д н ы й слой, |
п р и м ы к а ю щ и й |
к л а м и н а р |
||||||
ному |
п о д с л о ю . Турбулентные пульсации здесь уже настолько |
|||||||
велики, что турбулентные напряжения соизмеримы с вязкостными |
||||||||
и |
|
*б= *м+ гт. |
|
|
|
(8- 4) |
||
|
|
|
|
|
||||
3. |
Т у р б у л е н т н о е |
я д р о т е ч е н и я . |
Занимает |
централь |
||||
ную часть трубы. Здесь турбулентное трение несоизмеримо больше |
||||||||
молекулярного, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* S — f м + |
f т ~ |
г ■= 6/2 ( ' ^ |
”)2 |
|
|
(8.5) |
|
И з м е н е н и е н а п р я ж е н и я |
т р е н и я |
по |
р а д и у с у |
тру- |
||||
б ы. Выделим мысленно жидкий |
цилиндр радиусом г и длиной L |
|||||||
и составим уравнение количества движения |
(4.12) |
в проекциях на |
||||||
ось трубы. Скорость жидкости |
вдоль трубы не изменяется и силы |
давления на торцы 1 и 2 цилиндра уравновешиваются силами тре ния, действующими на боковую поверхность цилиндра: (р\—рг) X
Xnr2=x2nrLy и
_ Pi — Р2
2L
т. е. напряжение трения пропорционально радиусу: на оси равно О, а на стенке— максимально. Форхмула справедлива как для ла минарного, так и для турбулентного установившегося течения при рассматриваемых условиях (R = const, Q=const) и позволяет опре делить напряжение трения на стенке по измеренным давлениям в начале и конце участка трубы. Сопоставляя форхмулы (8.6) и (6.34), получим
Стр= 4 — |
или xw= ^ Q U 2. |
|
(8.7) |
QU* |
О |
|
|
~2~ |
|
|
|
У н и в е р с а л ь н ы й л о г а р и ф м и ч е с к и й |
з а к о н |
р а с |
|
п р е д е л е н и я с к о р о с т е й |
в т у р б у л е н т н о м п о г р а |
||
н и ч н о м с л о е п о П р а н д т л ю . При течении |
около |
гладкой |
стенки при у = 0 v' = u' = 0 и 1 = 0. С увеличением у начинают появ ляться турбулентные пульсации и возрастает путь лерехмешивания
/.Следуя Прандтлю примем, что
1)вблизи стенки путь перемешивания пропорционален рассто янию от стенки
1 = Щ |
(8.8) |
где к — одна из основных экспериментальных констант теории при стеночной турбулентности.
В соответствии с экспериментальными данными пропорциональ ность пути перемешивания расстоянию от стенки имеет место лишь до у]Яж0,1. В этой области х^0,4. При ylR> 0,1 увеличение пути перемешивания замедляется и определяется интерполяционной формулой
UR = 0, Н - 0,08 (1 - ylR f - 0,06 (1 - y/R)*; |
(8. 9) |
2) вблизи стенки напряжение трения является чисто турбулент ным, постоянно и равно напряжению трения на стенке xs = хт= =Tw=const. Тогда, с использованием формул (8.5) и (8.8), полу чим
TT = Xw = Qx2y2 |
(8- 10) |
Интегрируя (8.10), получим универсальный закон распределения скоростей в турбулентном пристеночном течении
и = V%wlQ In у + с. |
(8.11) |
% |
|
Для того, чтобы (8.11) придать безразмерный вид, введем в рас смотрение: 1) динамическую скорость у*
(8.12)
которая является мерой интенсивности пульсационного движения; 2) число Рейнольдса v*y/v, выражающее соотношение сил инерции
пульсационного движения *к силам вязкости. Учитывая, |
что v*/v = |
||
= -const, получим |
|
|
|
_ff_ = _ L in -^ - + C„ |
(8.13) |
||
v* |
Ъ |
v |
|
где C i—экспериментальная константа, зависящая от шероховатасти стенки.
Для гладких стенок Ci = 5,5 и, с учетом х=0,4, |
универсальный |
|
закон распределения скоростей примет вид |
|
|
- 2 - = |
2,51п - М - + 5 ,5 . |
(8.14) |
V*. |
V |
|
{p=u/v+
Рис. 8.1. Универсальный логарифмический закон распределения скоростей в гладкой трубе:
/ —кривая, |
соответствующая уравнению |
Ф-Л. т. е. |
ламинарному течению; 2—то |
же перехо |
|||
ду от ламинарной формы течения к турбулентной; |
3—то |
же |
уравнению |
(8.14), |
т. е., турбу |
||
лентному |
течению при любых числах |
Рейнольдса; |
4—то |
же |
уравнению |
(8.25), |
т. е. турбу |
лентному течению при Re<10s; 5—то же уравнению ф= 11,5т)1/1®
На рис. 8.1 сопоставляются результаты расчета по (8.14) (кривая 3) с данными эксперимента для гладких труб в широком диапазо не чисел Рейнольдса Re = Qud/\x. Кривая 1 соответствует ламинар ному течению в ламинарном подслое и рассчитана по уравнению ii/v* = v^y/v, которое получается из формул (8.3) и (8.12). Кривая 2 проведена по экспериментальным точкам для переходной обла сти от ламинарного к турбулентному течению.
Приведенные данные подтверждают существование в присте ночном турбулентном пограничном слое трех качественно отлич ных областей течения:
при (v%y/v) < 5 — чисто ламинарное течение (кривая /);
при 5 «< {v%y/v) |
70 — ламинарно-турбулентное течение |
/о icv |
||
(кривая 2); |
|
|
\ • |
) |
при {v%y/v) > 70 — чисто турбулентное течение (кривая 3). |
|
|||
Универсальный |
закон распределения |
скоростей не |
применим |
|
вблизи стенки при |
(v%y/v) <70, где молекулярное трение, которым |
|||
мы пренебрегали |
при выводе закона, играет существенную роль. |
|||
В области чисто турбулентного течения |
при v*y/v>70 вплоть |
до |
оси трубы универсальный закон хорошо подтверждается экспери ментами в широком диапазоне чисел Рейнольдса, что и доказывает его универсальность и позволяет распространить на любые, сколь угодно большие числа Рейнольдса без экспериментальной про верки.
В турбулентном ядре условия x = xw = const и / = 0,4 у, принятые при выводе логарифмического закона распределения скоростей, не выполняются: с увеличением у (уменьшением г) т, в соответствии с (8.6), уменьшается, а путь перемешивания I возрастает все мед леннее (8.9). Хорошее совпадение логарифмического закона с экс периментальными данными в этой области объясняется тем, что х
и I располагаются в разных сторонах |
исходного уравнения (8.5) |
и изменение т компенсируется изменением /. |
|
Универсальность логарифмического |
закона — его кажущаяся |
независимость от числа Рейнольдса — объясняется тем, что в его
выражения входит динамическая скорость ^lAr^/Q, определяе мая напряжением трения на стенке, которое зависит от числа Рей нольдса.
Т о л щ и н а л а м и н а р н о г о п о д с л о я 6Л и с к о р о с т ь ил при у = бл. Практически невозможно точно определить границу ламинарного подслоя. В соответствии с рис. 8.1 и условиями (8.15) она может быть определена по точке касания кривых 1 и 2 пример но при lg (v*y/v) ~ 0,7, т. е.
(8. 16)
Зависимость (8.16) используется при изучении влияния шерохова тости стенки на характеристики турбулентного течения (п. 8.3). Очень часто толщину ламинарного подслоя определяют по точке пересечения кривых 1 и 3:
&л = аУ/Ч> |
(8- 17) |
где а=11,5 12,5 — вторая основная экспериментальная |
констан |
та пристеночной турбулентности.
Скорость ил на границе ламинарного подслоя получим, подста вив в (8.3) значение бл из (8.17):
Из формул (8.17) и (8.18) следует, что число Рейнольдса, сос тавленное для ламинарного подслоя, имеет постоянное значение для любых чисел Рейнольдса осредненного течения
Re6 = |
= |
130... 156. |
(8. 19) |
ЛV
Незначительная величина Re^ показывает, что в ламинарном под
слое силы вяз,кости существенно .превышают силы инерции и в нем имеет место в основном ламинарное течение. При увеличении чис ла Рейнольдса осредненного течения в трубе за счет увеличения скорости увеличивается и ил, а толщина ламинарного подслоя при этом уменьшается, так как ReSji = const. Это явление оказывает су
щественное влияние на трение при турбулентном течении около шероховатых поверхностей (п. 8.3).
Г р а н и |
ц а п е р е х о д н о й о б л а с т и определяется |
точкой, |
где кривая |
2 сливается с кривой 3 (см. рис. 8.1): |
|
|
Уиepex— ^Ov/D*. |
(8.20) |
Поле скоростей в переходной области представляет собой плавную кривую, сопрягающую логарифмическое поле турбулентного ядра и линейное в ламинарном подслое. Уравнение этого поля можно получить, если при выводе логарифмического закона учесть моле
кулярное трение |
= |
|
|
и граничные условия лами |
|
нарного подслоя, полученные из эксперимента. |
|
||||
М а к с и м а л ь н а я |
и сред. няя с к о р о с т и о с р е д н е н н о |
||||
го т е че ния . Максимальную |
скорость определим |
из (8.14) при |
|||
условии y= R : |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 ,5 In-^ -4 -5 ,5 . |
(8.21) |
||
|
|
|
V |
|
|
Вычитая из (8.21) |
значение — |
по формуле (8.14), получим |
|||
|
|
V* |
|
|
|
ц,„ах-ц |
^ _ |
2 ) 5 1 п X ; |
JL = |
Jf!na>L_L 2,5 In |
(8.22) |
|
|
R. |
v* |
v% |
R. |
Среднюю скорость определим по (3.14), подставив значения ы/р*
из |
(8.22): |
|
|
|
«ср _ Q |
i r \ V, « - Й |
<*-* \ (“- ^ + 2 ,5 >„ f ) |
(1 - f ) - f ■ |
|
V* |
t>*S |
|||
|
|
о |
о |
|
Выполнив интегрирование, получим |
|
|||
|
|
^ср/^* ^тах/^* 3,75. |
(8.23) |
|
|
С т е п е н н о й з а к о н |
р а с п р е д е л е н и я |
с к о р о с т е й . |
Опыты показывают, что поле скоростей в турбулентном пристеноч
ном пограничном слое хорошо описывается следующим, чисто эм пирическим, степенным законом
И/ИтаХ= Ш ) П или и/итж= ( \ - г/R)", |
(8. 24) |
где п — показатель степени, определяемый экспериментально. Недостаток степенного закона состоит в том, что он не универ
сален: показатель степени п зависит от числа Рейнольдса, умень шаясь с его увеличением (табл. 8.1). В пределах Re = 4*103 105, достаточно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных обеспечивается при п = 1/7. Поэтому степенной закон назы вают законом одной седьмой. Большим преимуществом степенного закона является простота, что и определяет широкое применение его в технических расчетах.
Таблица 8.1
|
Ламинар- |
|
|
Турбулентное течение |
|
|
|
Re=ecptf/-» |
нсе |
|
|
|
|
|
|
течение |
4* 103 |
2,3-10* |
1,Ы 05 |
М-Ю’ |
3,2*10® |
оо |
|
|
Re<ReKp |
||||||
п |
|
1/6 |
1/6,6 |
1/7 |
1/8,8 |
1/10 |
0 |
с (п) |
— |
7,8 |
8,37 |
8,74 |
10,4 |
11,5 |
— |
^ср/^шах |
0,5 |
0,79 |
0,81 |
0,82 |
0,85 |
0,875 |
1 |
Коэффициент Ко |
2,0 |
1,13 |
|
1,05 |
— |
1,025 |
1 |
риолиса а |
|
Уравнению (8.24) придают следующий вид |
|
u/v* = c{n)(yvx/v)n. |
(8.25) |
Значения коэффициента с (п) для различных |
чисел Рейнольдса |
приведены в табл. 8.1. На рис. 8.1 нанесена кривая 4, рассчитанная по уравнению (8.25) при п= 1/7, которая хорошо совпадает с ре зультатами опыта только до Re< 105. Кривая 5 представляет рас пределение скоростей при п= 1/10. В этом случае наблюдается хо рошее совпадение с опытными данными при больших числах Re и расхождение при малых.
Задача 8.1. Получите формулу |
иср/ и тйХ, используя степенной закон (8.24) |
||
и методику получения формулы (8.23). |
|
||
Ответ: |
2 |
|
|
и ср |
(8. 26) |
||
^шах |
( л + 1)(л + 2) |
||
|
Отношение u cp/«m ax характеризует наполненность поля скорос тей: при мСр/мтах= 1 поле скоростей полностью наполнено или рав номерно. Для ламинарного^ течения « Cp/«m ax = 0,5 и не зависит от числа Рейнольдса. Мощный механизм турбулентного перемешива ния приводит к выравниванию поля скоростей и к существенному увеличению иср/итях, возрастающему с увеличением числа Рей нольдса, в пределе до единицы.
На рис. 8.2 приведены безразмерные поля скоростей, измерен ные в гладких трубах. Турбулентные поля скоростей существенно