Контрольные вопросы к главе 3

1. Какими способами получают сеточные функции для решения задачи интерполяции?

2. Что называют интерполирующей функцией?

3. Какое свойство интерполирующей функции отличает ее от аппроксимирующей?

4. Каким способом задачу интерполяции свести к задаче решения СЛАУ?

5. В программе 8 СЛАУ решается методом обращения матрицы, а какие еще методы решения СЛАУ Вы знаете?

6. Какие изменения в программе 8 нужно сделать для решения своего варианта задачи интерполяции?

7. Какая степень полинома используется в примере программы 8?

8. В чем разница между локальной и глобальной интерполяцией?

9. Как получить формулы линейной и квадратичной интерполяции из полинома Лагранжа?

10. Почему вычисления с помощью полинома Ньютона и полинома Лагранжа практически совпадают?

11. Как использовать функцию linterp в MathCad для решения задачи линейной интерполяции?

12. Поясните алгоритм сплайн-интерполяции?

13. Какие встроенные функции MathCad можно использовать для сплайн-интерполяции?

14. В чем состоит основное отличие задачи экстраполяции от задачи интерполяции?

15. Какими способами можно попытаться решить задачу экстраполяции? Какие трудности здесь могут встретиться?

Расчетная многовариантная задача № 3

По данным таблицы 2 [X,Y] многовариантной задачи № 1:

а) постройте интерполяционный многочлен Ньютона и решите его обращением матрицы. Рассчитайте значения функции при трех любых значениях аргумента и в двух узлах;

б) постройте полином Лагранжа и вычислите значения функции в тех же точках, что и в задании а);

в) проведите сплайн-интерполяцию и построите графики линейной, квадратичной и кубической сплайн-интерполяции. Вычислите значения функции при тех же значениях аргумента, что и задании а).

Варианты творческих заданий

1. Проведите интерполяционные функции для экспериментальных данных, полученных при выполнении лабораторных работ по физической химии.

2. Допишите программу 10 так, чтобы она могла выполнять квадратичную интерполяцию по уравнению (25).

Глава 4. Оптимизация

Оптимизация – это процесс решения широкого круга задач прикладного характера, связанных с выбором наилучшего (оптимального) решения задачи при данных условиях. Можно привести ряд примеров задач, которые могут быть решены с помощью методов оптимизации:

• как вести синтез определенного химического вещества, чтобы получить максимальный выход продукта;

• какой путь синтеза выбрать, чтобы экономно получить нужное вещество;

• сколько нужно произвести продукции того или иного наименования, чтобы получить хорошую прибыль;

• при каких условиях провести эксперимент, чтобы получить минимальные погрешности в расчетных данных;

• какой выбрать маршрут, чтобы побыстрее приехать на работу;

и т. д.

Все они сводятся к количественному поиску минимума или максимума функции, которую называют целевой функцией или критерием оптимизации (R). Такие неконкретные условия как “побыстрее” легко заменить на “минимум затраченного времени”, а “экономно” – на “минимум затрат”. Задача отыскания максимума функции R эквивалентна задаче отысканию минимума отрицательного значения R. Это позволяет использовать одни и те же методы поиска оптимального решения как для задач минимизации, так для задач поиска максимума.

Целевая функция (R) зависит от параметров объекта (х₁, х₂, х₃ ...):

R = f (х₁, х₂, х₃ ... x_n) (27)

В первой задаче в качестве параметров объекта выступают температура смеси, скорость добавки компонентов, концентрации веществ; во второй – количество кг каждого продукта, произведенного в смену и т. д.

Задачей оптимизации является расчет такого набора х₁, х₂, х₃ ... x_n , при котором целевая функция R принимает наилучшее, оптимальное (максимальное или минимальное) значение.

Трудности, которые встречаются на пути решения подобных задач можно разделить на две категории:

1. Трудности, связанные с построением математической модели зависимости R от параметров объекта.

2. Трудности, связанные с решением математической задачи оптимизации.

Первые связаны с применением законов из различных областей знаний (химии, физики, экономики и т. д.) к конкретным реальным условиям, которые описывают поведение системы приближенно. Кроме того, всегда стоит вопрос – адекватно ли модель описывает процессы, влияющие на целевую функцию. Эти вопросы достаточно сложные и, как правило, являются объектами исследования в соответствующих областях знаний, в том числе и в химии (моделирование технологических процессов, планирование эксперимента, квантовая химия, химическая кинетика и т. д.). В настоящем курсе мы будем считать, что математическая модель, т. е. функция R = f (х₁, х₂, х₃ ... x_n) нам известна.

Среди математических трудностей, связанных с решением задач оптимизации, следует назвать приближенный характер используемых численных методов, возникающие проблемы множественности решения, реальные задачи оптимизации часто плохо обусловлены или некорректно поставлены. Следует отметить, что этот раздел вычислительной математики интенсивно развивается в настоящее время и по мере возрастания возможностей вычислительной техники успехи в решении трудных задач оптимизации становятся все ощутимее.

Существуют два типа задач оптимизации – безусловные и условные. Вторые, в отличие от первых, называют также задачами с ограничениями и содержат в формулировке задачи ограничения на искомые параметры в виде равенств или неравенств. Для большинства задач в химии неотрицательность концентраций, констант скорости, температур (в градусах Кельвина) и т. д. является очевидным ограничением.

Решение задач оптимизации, в которых критерий оптимизации является линейной функцией независимых переменных с линейными ограничениями на них, составляет предмет линейного программирования. В противном случае – нелинейного программирования.

При числе параметров n = 1 критерий оптимизации R является функцией одной переменной, в этом используют достаточно простые методы одномерной оптимизации, при n > 1 применяют методы многомерного поиска максимума (минимума) целевой функции.