Решение дифференциальных уравнений

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) первого порядка называют уравнения, записанные в форме

dy/dx = f(x,y) (59)

Получить их аналитическое решение можно только в том случае, когда переменные можно разделить. В большинстве же случаев этого сделать нельзя. Уравнение (31), которое мы решали, приводя его к уравнению с интегралом, является частным случаем (59), в котором правая часть не зависит от функции y и поэтому разделение переменных в нем не составляет труда. Однако уравнения типа (31) также можно решать методами, разработанными для решения более сложной задачи (59). Таким образом, у нас появляется возможность в учебных целях решать уравнение (31) не только методами интегрирования, но методами решения дифференциальных уравнений, что мы и сделаем на примере расчета изменений термодинамических функций в ходе химической реакции в зависимости от температуры [11].

Уравнение (59) в общем случае имеет множество решений. Для получения единственного решения должно быть известно одно решение (начальное решение) y₀ при x₀. В химических задачах начальное часто можно найти довольно просто, например изменение концентрации вещества при времени реакции, равном нулю равно нулю. Часто для получения этого начального решения используют справочные данные, например тепловой эффект реакции при температуре 298 К, можно рассчитать по справочным данным о стандартной энтальпии образования веществ при 298 К.

Левая часть уравнения (59) – производная имеет ясный геометрический смысл – тангенс угла наклона касательной в точке (х,y). И этот тангенс угла равен правой части уравнения – функции f(x,y).

Метод Эйлера

В этом методе проводится касательная из точки (x₀,y₀) c тангенсом угла наклона f (x₀,y₀) и продолжается до искомого значения y при x (рис. 7). Приближенное значение y вычисляется из линейной зависимости этой касательной:

(59)

Рис. 7. Графическая интерпретация метода Эйлера

Разность между истинным и приближенным значением составляет ошибку метода (y). Для снижения ошибки интервал [x₀,x] делят на N малых интервалов с шагом h и на каждом i-том интервале при значении аргумента x_i

(61)

используют формулу (59). При этом можно получить итерационную формулу Эйлера:

(62)

Чем меньше шаг, тем меньше погрешность метода (погрешность этого метода пропорциональна h²). Существуют также методы, уменьшающие ошибку на каждом шаге интегрирования. Один из них – метод Эйлера-Коши.

Программа 26

М етод Эйлера-Коши

В этом методе проводится две касательных: одна та же, что и в методе Эйлера, с тангенсом угла наклона tg = f (x₀,y₀), а вторая из той же точки, но с углом наклона tg = f (x,y₁), где y₁ – это вычисленное из первой касательной приближенное значение y. Из линейной зависимости второй касательной находят y₂. За решение принимают полу сумму y₁ и y₂:

(63)

Разделив интервал интегрирования на N подинтервалов и применив к каждому из них уравнения (63) получим итерационную формулу метода Эйлера-Коши (ошибка пропорциональна h³):

(64)

В программе 27 дана реализация алгоритма этого метода. Еще более точным является метод Рунге-Кутта. Он наиболее популярен в технических, инженерных и научных расчетах.