Условие прочности по касательным напряжениям:
.
Задача 3.1. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 7) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Дано: F = 10 кН, ℓ = 3 м.
Построить:
эпюру
эпюру
.
Решение.
1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I.
2. Применяем метод сечений на силовом участке:
I
участок:
,
при
Рис. 7
при
3. Строим по
результатам расчета эпюры
Вывод:
опасное сечение – сечение А,
где
Задача 3.2. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 8) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Дано: М = 15 кН·м, ℓ = 1 м.
Построить:
эпюры
Рис. 8
Решение.
1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I.
2. Применяем метод сечений на силовом участке:
I
участок:
,
3. По результатам
расчета строим эпюры
Вывод: все сечения балки равноопасны.
Задача 3.3. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 9) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Дано:
Построить: эпюры
Рис. 9
Решение.
1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I, II.
2. Применяем метод сечений на каждом силовом участке:
I
участок:
,
,
(уравнение
прямой, не проходящей через начало
координат),
при
при
II
участок:
,
,
,
(уравнение прямой не проходящей через
начало координат).
при
при
3. Строим по
результатам расчета эпюры
Вывод:
опасное сечение – сечение В,
где
Задача 3.4. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 10) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Дано: F = 30 кН, а = 1 м, b = 2 .
Построить:
эпюры
Решение.
1. Определим реакции
опор:
Проверка:
Вывод: реакции опор определены верно.
Рис. 10
2. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I, II.
3. Применяем метод сечений на каждом рассматриваемом участке:
I
участок:
,
при
,
при
;
II
участок:
,
при
при
4. Строим по
результатам расчета эпюры
Вывод:
опасное сечение – сечение А,
где
Задача 3.5. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 11) построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов.
Дано: q = 5 кН/м, ℓ = 4 м.
Построить: эпюры и .
Решение.
1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I.
2. Применяем метод сечений на силовом участке:
I
участок:
,
– уравнение
прямой, проходящей через начало координат,
при
,
при
,
– уравнение
параболы,
Рис. 11
– уравнение параболы,
при
при
.
Параболу можно построить по трем точкам, если одна из этих точек – вершина параболы. Возможен частный случай: параболу можно построить по двум точкам, если положение вершины совпадает с правой или левой границей параболы (начало или конец участка балки с распределенной нагрузкой).
Исследуем уравнение
момента на экстремум (максимум, минимум).
Для этого возьмем производную от
выражения
:
и приравняем ее
к нулю,
.
Подставив
в уравнение момента, получим
.
То есть вершина параболы расположена в начале силового участка (0, 0).
3. Строим по результатам расчета эпюры и .
Вывод:
опасное сечение – сечение А,
где
.
Задача 3.6. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 12) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Дано: q = 4 кН/м, а = 2 м, b = 1 м.
Построить: эпюры и .
Решение.
1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I, II.
2. Применяем метод сечений (правило РОЗУ) на каждом силовом участке:
I
участок:
,
– уравнение прямой,
проходящей через начало координат,
при
;
при
;
Рис. 12
– уравнение
параболы,
при
при
.
Параболу можно построить по трем точкам, если одна из этих точек – вершина параболы. Возможен частный случай: параболу можно построить по двум точкам, если положение вершины совпадает с правой или левой границей параболы (начало или конец участка балки с распределенной нагрузкой).
Исследуем уравнение момента на экстремум (максимум, минимум). Для этого возьмем производную от выражения :
и приравняем ее
к нулю.
.
Подставив в уравнение момента, получим
.
То есть вершина параболы расположена в начале силового участка (0, 0).
II
участок:
,
.
– уравнение
прямой, не проходящей через начало
координат;
при
при
3. Строим по
результатам расчета эпюры
и
.
Вывод:
опасное сечение – сечение А,
где
.