Смотр знаний по геометрии.
Билет 1.
Прямая-это одно из основных понятий геометрии. Не имеет не конца не начала.
Отрезок-это часть прямой, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними.
Луч-это часть прямой, содержащая только одну точку.
Угол-это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).
Билет 2.
1. Сме́жные углы́ — это пара углов, которые дополняют друг друга до 180 градусов. Два смежных угла имеют общую вершину и одну общую сторону, две другие (не общие) стороны образуют прямую линию. Для угла 135 градусов смежным является угол в 45 градусов. Для угла x градусов смежным является угол 180 - x градусов.
2. На рисунке 25 углы ABC и CBD смежные. У них сторона ВС общая, а стороны BA и BD являются продолжениями одна другой и дополняют до прямой.
Теорема. Сумма смежных углов равна 180о.
Доказательство. Пусть ÐАВС и ÐCBD – данные смежные углы (Рис. 25). Так как лучи ВА и BD образуют развернутый угол, то ÐАВС+ÐCBD =180°.
Теорема доказана.
Можно найти величину одного из смежных углов, если известна величина другого угла. Например, ÐАВС =72°, величина смежного ему угла будет равна 180°- 72°=108°.
Каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы. Мы доказали первую теорему о смежных углах.
Билет 3.
1. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
На рисунке 26 углы ÐEOF и ÐAOC, а также углы ÐAOE и ÐCOF – вертикальные. Потому что сторона ОА является продолжением луча OF, а сторона OC является продолжением луча OE и дополняет до прямой.
Теорема. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть Ð1 и Ð2 – данные вертикальные углы (Рис. 27). Тогда Ð1 и Ð3 смежные, также Ð2 и Ð3 смежные углы. Отсюда из теоремы 1:
Ð 1+Ð3 = 180°
Ð2+Ð3 = 180°
Из этого: Ð1+Ð3=Ð2+Ð3. Из этого равенства получим Ð1=Ð2, т. е. вертикальные углы 1 и 2 равны.
Билет 4.
Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство
|
На основании теоремы 3.1 можно легко доказать еще несколько признаков параллельности.
Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Из данного утверждения вытекает
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Билет 5.
1.Треугольник-это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.
2. - тупоуголный -остроугольный
-равносторонний -прямоугольный
-разносторонний треугольник
3.Равенство треугольников: Два треугольника называются равными (Δ A1B1C1 = Δ A2B2C2), если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. A1B1=A2B2, B1C1=B2C2, C1A1=C2A2 и ∠ B1A1C1 = ∠ B2A2C2, ∠ A1B1C1 = ∠ A2B2C2, ∠ B1C1A1 = ∠ B2C2A2.
Билет 6.
|
Билет 7.
Теорема Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1. Пусть A1B2C2 – треугольник, равный треугольнику ABC. Вершина B2 расположена на луче A1B1, а вершина С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1. Так как A1B2 = A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 и ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вершиной С1. Треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
Билет 8
|
Билет9.
Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.
Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. Доказательство Пусть a – данная прямая и не лежащая на этой прямой точка A. Проведем через какую-нибудь точку прямой a перпендикулярную ей прямую с. Прямая с пересекает прямую a в точке С. Теперь проведем параллельно прямой с прямую b, так чтобы что бы прямая b проходила через точку A. Тогда прямая b ⊥ a, так как b || с и с ⊥ a. Значит отрезок AB ⊥ a. Теперь докажем единственность перпендикуляра AB. Допустим, существует еще перпендикуляр, проходящий через точку A к прямой a. Тогда у треугольника ABD будет два угла по 90 °. А этого не может быть, так как сумма всех углов в треугольнике 180 °. Теорема доказана.
Билет 10.
Медиа́на треуго́льника -отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.
Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Свойства: В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения так же пересекаются в одной точке.
Билет 11.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием.
|
Билет12.
Биссектриса угла, опущенная из вершины равнобедренного треугольника является и медианой и высотой данного треугольника. Получается: биссектриса опущенная к основанию делит его (основание) на две равные части...
Билет 13.
Окружность-это множество точек плоскости расположенных на данном расстояние от данной точки.
т. О-центр окружности.
R. - радиус
D-диаметр (самая большая хорда)
Хорда-это отрезок, концы которого лежат на окружности.
Билет 14.
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
Два отрезка называются параллельными, если лежат на параллельных прямых.