Интерференция волн.

При интерференции наложении волн должны происходить в оном направлении. Как следует из раздела 3.2.3, результирующая амплитуда А двух накладываемых синусоидальных волн S₁(r,t)=A₁sin(₁t-k₁r₁+₀₁);

S₂(r,t)=A₂sin(₂t-k₂r₂+₀₂);

определяется выражением A²=A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(₂-₁),

где ₁-₂==[(₂t-₁t)-(k₂r₂-k₁r₁)+(₀₂-₀₁)] - р а з н о с т ь ф а з волн в момент времени t. Для некогерентных волн разность фаз  с течением времени меняется, и в этом случае среднее значение квадрата амплитуды <A²> за время много большее периода

<A²> = <A₁²> + <A₂²> так как <cos(₁-₂)>=0 Поэтому при наложении некогерентных волн перераспределения энергии колебаний не произойдет, поскольку в каждой точке среды энергия результирующих колебаний равна сумме энергий колебаний обусловленных некогерентными волнами в отдельности. Иначе обстоит дело при наложении когерентных волн, у которых ₁=₂= и в однородной изотропной среде (v₁=v₂=v). Их разность фаз ₁-₂ = -k(r₂-r₁) + (₀₂-₀₁)

Амплитуда результирующих колебаний будет м а к с и м а л ь н а в тех точках среды, для которых разность фаз равна ч е т н о м у числу 

₂-₁=2m , где m=0,1,2,3, ...

Если разность начальных фаз ₀₂ - ₀₁=0 , то условие м а к с и м у м о в д л я р а з н о с т и х о д а принимает вид k(r₂-r₁)=(2/)(r₂-r₁)=2m

или

(r₂-r₁)=m=2m(/2) Амплитуда результирующих колебаний будет м и н и м а л ь н а в тех точках среды, для которых разность фаз равна н е ч е т н о м у числу  ₂-₁=(2m+1) , а разность хода

(r₂-r₁)=(2m+1)(/2)

Стоячие волны

Для наблюдения устойчивой интерференционной картины не обязательно

иметь два независимых когерентных источника. Вторую, когерентную с исходной, волну можно получить в результате отражения волны от границы среды, в которой происходит распространение волн.

В результате и н т е р ф е р е н ц и и п а д а ю щ е й и о т р а ж е н н о й в о л н ы образуется с т о я ч а я в о л н а .

Пусть уравнение падающей волны имеет вид

S₁(x,t)=Acos( t -kx) ,

тогда уравнение отраженной волны имеет вид

S₂(x,t)=Acos( t+kx+) ,

где  - изменение (сдвиг) фазы волны, возникающее при отражении.

При о т р а ж е н и и у п р у г и х в о л н сдвиг фазы зависит от волнового сопротивления R_волн отражающей среды, которое определяется по формуле

R_волн=v ,

где  - плотность среды, а v - фазовая скорость волны. Пусть волновые сопротивления среды, от которой распространяется волна -  ₁v₁ , а среды, от которой волна отражается - ₂v₂ .

При соотношении ₁v₁< ₂v₂ волна отражается от более плотной среды

и  =, что соответствует прохождению волной дополнительного расстояния в /2 (потеря половины длины волны).

Если  ₁v₁>₂ v₂ , то волна отражается от менее плотной среды и  =0.

Учитывая выше сказанное, уравнение отраженной волны можно записать в виде

S₂(x,t)= A cos( t + k x)

где «плюс» соответствует  =0 ,а «минус»  =. Тогда уравнение стоячей волны получим:

S(x,t)=S₁(x,t)+S₂(x,t)=A[cos( t-kx)cos( t+kx)] =

Точки, в которых амплитуда колебаний в стоячей волне

A_ст(x)=|2Asin(kx)| ,

а в стоячей волне

A_ст(x)=|2Acos(kx)| ,

достигает максимального значения 2А, называется п у ч н о с т я м и ; точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, - у з л а м и . Расстояние между узлами равно половине длины бегущей волны. Для стоячей волны на границе всегда узел, для стоячей - пучность (рис. )

Стоячая волна по существу уже не является волновым движением, так как в ней отсутствует перенос энергии, потому что падающая и отраженные волны за одно и то же время переносят одинаковую энергию в противоположном направлениях.

В упругой стоячей волне максимальные значения кинетической энергии совпадают с пучностями, а максимальные значения потенциальной энергии - с узлами, так как в них происходит наибольшая деформация среды.

В электромагнитной стоячей волне энергия электрического поля максимальна в пучностах вектора (рис. ), энергия магнитного поля - в пучностях вектора .

При наличии отражающих границ с двух сторон условие образования стоячей волны на участке длиной  следующие:

 =n , если на границах узлы (рис.)

, если на границах пучности (рис.)

 =(2n-1) , если на одной границе узлы, на другой пучность (рис. 29 в)

где  - длина бегущей волны, а n = 1 , 2 , 3 ... .

Частоты, удовлетворяющая условиям , называются с о б с т в е н н ы м и ч а с т о т а м и (гармониками) стоячей волны на данном участке. Условия так же можно представить как условие резонанса, и говорить о наборе р е з о н а н с н ы х ч а с т о т стоячей волны на участке длинной  .

спектрального анализа света.