- •Механические колебания и волны
- •Гармонические колебания.
- •Гармонический осциллятор
- •Энергия гармонических колебаний осциллятора
- •Сложение гармонических колебаний
- •Затухающие колебания и их характеристики
- •Характеристики затухающих колебаний
- •Уравнение плоской синусоидальной волны
- •Волновой пакет. Групповая скорость. Дисперсия.
- •Интерференция волн.
Затухающие колебания и их характеристики
С в о б о д н ы е к о л е б а н и я р е а л ь н ы х с и с т е м в с е г д а з а т у х а ю т , так как часть первоначальной энергии системы тратится на работу против сил сопротивления в механических системах и на джоулево тепло - в электрических системах.
Рассмотрим свободные затухающие колебания пружинного маятника. Действующую на него силу сопротивления при малых скоростях движения груза можно считать пропорциональной скорости
.
где r - коэффициент сопротивления, зависящий от вязкости среды, размеров и формы тела; минус говорит о том, что сила всегда направлена против скорости.
С учетом силы сопротивления II закон Ньютона для груза имеет вид
.
Разделим его на m и введем обозначения
; .
Тогда дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний маятника запишется в виде
,
где собственная частота ,а называется коэффициентом затухания.
Следуя общим правилам решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем и находим для характеристическое уравнение
.
Общее решение уравнения (30)
,
где .
Здесь следует различать два случая. Если , то имеем два комплексно сопряженных значения . Общее решение уравнения движения может представлено в этом случае как
.
Учитывая (1а) ,затухающие колебания будут описываться функцией
,
где - начальная амплитуда; ; - начальная фаза. График зависимости изображен на рис. Строго говоря, з а т у х а ю щ и е к о л е б а н и я н е я в л я ю т с я п е р и о д и ч е с к и м и , так как значение амплитуды
не повторяются. Однако можно говорить об условной циклической частоте затухающих колебаний и об условном периоде
.
Энергия системы при условии в среднем за период убывает по закону
,
где - начальное значение энергии.
Второй случай реализуется, если . При этом оба значения вещественны и отрицательны. Общий вид решения
описывает апериодическое движение ,при котором убывает ,если .
Характеристики затухающих колебаний
В р е м я р е л а к с а ц и и - время, в течении которого амплитуда свободных колебаний убывает в е раз, то есть
.
Отсюда следует, что или
.
За время релаксации система успевает совершить число колебаний, равное
.
Л о г а р и ф м и ч е с к и й д е к р е м е н т к о л е б а н и й показывает, какую долю период составляет от времени релаксации и, таким образом, обратен по величине числу колебаний :
.
Практически логарифмический декремент определяется по формуле
.
Д о б р о т н о с т ь Q - равна отношению энергии системы Е(t) в момент времени t к убыли этой энергии за один последующий период затухающих колебаний, умноженному на
.
Учитывая (35)
.
При малых значениях логарифмического декремента
и .
Вынужденные колебания
В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я в о з н и к а ю т п р и в н е ш н е м п е р и о д и ч е с к о м в о з д е й с т в и и н а к о л е б а т е л ь н у ю с и с т е м у. Общей чертой вынужденных колебаний является то,что спустя некоторое время система полностью «забывает» свое начальное состояние ,и в ней устанавливаются незатухающие колебания с частотой внешнего воздействия.
Рассмотрим вынужденные колебания на примере механической системы (рис.14). Маятник в виде заряженного шарика на длинном стержне из диэлектрика помещен между вертикальными пластинами плоского конденсатора, на которые подается переменное напряжение. Если внешняя сила изменяется гармонически с частотой и амплитудой
,
то уравнение движения для маятника имеет вид
.
Введя обозначения , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
.
Решением такого уравнения является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения
,
где первый член описывает свободные затухающие колебания, второй - незатухающие колебания с частотой , амплитудой вынужденных колебаний А и сдвигом фазы между действием силы и смещением х.
Через время, равное времени релаксации , свободные колебания практически прекращаются и маятник переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний с частотой внешней силы
.
Из этого следует, что
,
.
Подставим:
.
(2) (3) (4)
Проведем сложение трех гармонических колебаний в левой части уравнения методом векторных диаграмм. Для этого произвольно расположим вектор , описывающий третье колебание. Вектор , описывающий первое колебание, опережает его на , а вектор - на /2. Так как сумма , из рисунка следует
;
.
Резонанс
Кривая, описывающая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия , называется резонансной кривой или амплитудно - частотной характеристикой (АЧХ).
П р и п р и б л и ж е н и и ч а с т о т ы в н е ш н е й с и л ы к ч а с т о т е 0 н а б л ю д а е т с я в о з р а с т а н и е а м п л и т у д ы в ы н у ж д е н н ы х к о л е б а н и й.
Э т о я в л е н и е н а з ы в а е т с я р е з о н а н с о м.
Рассмотрим физическую сторону этого явления в разных областях частот.
Если <<0 , первый и второй члены в уравнении малы по сравнению с третьим и уравнение движения сводится к виду
.
В этом случае внешняя сила «идет» на преодоление квазиупругой силы, и колебания будут происходить со статической амплитудой
.
Если >>0 , первый член в левой части уравнения много больше остальных и уравнение движения будет иметь вид
.
Решение его будет описывать колебания с амплитудой , при которых силы трения и упругости становятся несущественными по сравнению с внешней силой. При амплитуда колебания А стремится к нулю.
В области резонанса первый и третий члены уравнения (51) сравняются, а так как они противоположны по знаку, то
, .
Таким образом, в условиях резонанса роль внешней силы сводится главным образом к компенсации действующих в механической системе сил трения и ускорение создается силой упругости. При этом система совершает почти «гармонические» колебания с максимальной для нее амплитудой
.
Значение р е з о н а н с н о й ч а с т о т ы РЕЗ можно определить из условия минимальности знаменателя в выражении ,
.
При <<0 , и , а с учетом .
Отсюда следует, что чем выше добротность системы Q , тем острее «резонансный пик» (рис.
Поскольку энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды, при резонансе система обладает наибольшей энергией ЕРЕЗ . Пусть и - циклические частоты, при которых энергия системы убывает в два раза по сравнению с ,тогда величина называется шириной резонансной кривой. Для системы с высокой добротностью ; и
.
Чтобы убедится в справедливости, составим соотношение
.
Так как ,а ,
то ,
отсюда . С учетом можно получить очень важное соотношение между полушириной резонансной кривой вынужденных колебаний и временем релаксации свободных затухающих колебаний :
.
ВОЛНЫ
Ф р о н т в о л н ы - геометрическое место точек системы, до которых доходят колебания источника к моменту времени t. Фронт волны представляет ту поверхность, которая отделяет часть системы, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.
Геометрическое место точек, в которых колебания совершаются в одинаковой фазе, называется в о л н о в о й п о в е р х н о с т ь ю. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости - п л о с к а я в о л н а, или форму сферы - с ф е р и ч е с к а я в о л н а.
Волну можно считать сферической на расстояниях значительно превышающих размеры источника (точечный источник) и при условии, что скорость распространения возмущения одинакова по всем направлениям (изотропная среда). Если источник возмущения находится настолько далеко, что волновая поверхность представляет собой плоскость (сфера очень большого радиуса), то говорят о плоской волне. Волна называется п о п е р е ч н о й, если колебания совершаются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Волна называется п р о д о л ь н о й, если колебания происходят в направлении распространения волны.