Механические колебания и волны

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

К о л е б а н и я - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени, например: колебания маятника часов, переменный электрический ток, колебания молекул в твердом теле, пульсация излучения звезд и так далее.

Во всех колебательных процессах происходит взаимное превращение одного вида энергии в другой, например, в механических колебательных системах кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно, а в электромагнитных - энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и обратно. Характерной чертой колебательных систем является также наличие устойчивого положения равновесия.

К простейшим периодическим колебаниям относятся г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я, в которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам : во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер ,очень близкий к гармоническим, и, во-вторых ,любой периодический процесс можно представить в виде суммы гармонических колебаний.

Гармонические колебания.

Если в системе совершаются гармонические колебания, то колеблющаяся физическая величина х изменяется со временем по закону

, (2)

где А- амплитуда колебания, равная наибольшему абсолютному значению отклонения х от положения равновесия;

- фаза колебания, являющаяся угловой мерой времени, прошедшего от начала колебаний ,и определяющая значение х в данный момент времени;

- начальная фаза, равная фазе в момент начала отсчета времени t =0;

- циклическая частота, имеющая смысл скорости изменения фазы колебания.

Выражение (2) для гармонических колебаний можно представить в эквивалентной форме

.

Если за время t система совершила N колебаний, то время одного колебания - период , число колебаний, совершенных за единицу времени - частота . Циклическая частота .

Различные формы представления гармонических колебаний:

а)Метод векторных диаграмм

Гармонические колебания можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора на плоскости (рис.2).

Для этого из начала координат проведем вектор , модуль которого равен амплитуде колебаний А ,а сам он повернут относительно оси координат ОХ на угол, равный фазе колебаний . С течением времени вектор будет равномерно вращаться вокруг точки О против часовой стрелки с угловой скоростью, равной циклической частоте колебаний , при этом проекции его на оси ОХ и ОУ будут совершать гармонические колебания. Метод векторных диаграмм используется ,например ,при сложении одинаково направленных гармонических колебаний.

б)Комплексная форма

Пусть ,а .

Составим комплексное число Z= x+iy ,тогда согласно формуле Эйлера получим:

.

Если ввести комплексную амплитуду ,то

. (2а)

Поэтому гармоническое колебание , может быть записано как действительная часть комплексного числа Z , обозначаемая ReZ :

.

Таким образом, можно проводить алгебраические преобразования не с синусами и косинусами ,а с экспонентами, что намного проще. Физический же смысл всегда будет иметь только действительная часть конечного выражения, полученного в результате математических операций с комплексными числами.