Методические указания и задания для выполнения контрольной работы

В соответствии с учебным планом по дисциплине «Статистика» студенты – заочники специальностей 080105, 080107, 0808109, 080801 выполняют контрольную работу.

В ходе выполнения контрольной работы студенты должны показать знания и умения применить на практике основные статистические методы в решении конкретных статистических задач.

Контрольная работа включает 6 задач на основные темы изучаемого курса дисциплины. При выполнении работы следует написать условие задачи, изложить полностью ход решения. Округлять абсолютные величины до 0,01, относительные до 0,1, а индексы до 0,001.

В конце работы указать список литературы, которую применяли при написании контрольной работы, дата выполнения работы и личная подпись студента.

Выполнению контрольной работы должно предшествовать тщательное изучение учебного материала, рекомендуемого по темам, по которым даны задания, а также внимательное ознакомление с методическими материалами.

Большую помощь при выполнении контрольной работы может оказать знакомство с учебным пособием « Практикумом по общей теории статистики» Мальцевой В.С.- Северодвинск: Севмашвтуз, 2007. В нем имеются краткий обзор основных понятий общей теории статистики решения типовых задач.

Задания к контрольной работе составлены в десяти вариантах.

Выбор вариантов контрольных работ

Начальная буква фамилии студента	Номер варианта контрольной работы
А, Б, Ю	1
Г, Д, Ш	2
Ж, З, К	3
Л, М, Е	4
Э, О, П	5
Р, С	6
Т, Ф	7
У, Х, Ц	8
И, Ч	9
Н, В, Я	10

Указания по выполнению отдельных задач

Задача 1 составлена на тему «Сводка и группировка статистических материалов». Для ее решения необходимо понять смысл сводки и группировки данных.

По глубине и точности обработки материала различают сводку простую и сложную.

Простая сводка – это операция по подсчету общих итогов по совокупности единиц наблюдения.

Сложная сводка – это обработка материала, который включает в себя группировки данных. Группировка – это разбиение (расчленение) множества единиц изучаемой совокупности на группы по существенным для этой группы однородным признакам.

Признак, на основе которого производится подразделение единиц наблюдения на группы, называется группировочным признаком или основанием группировки. Группировка может выполняться по одному признаку (простая группировка) и по нескольким признакам (комбинированная группировка).

Группировочные признаки могут быть атрибутивными (качественными) и количественными.

Группировка включает несколько этапов:

1. выделение признаков группировки;

2. определение числа групп;

3. обоснование системы показателей для характеристики полученных групп;

4. оформление результатов в таблицах.

При выполнении группировки на основе варьирующих количественных признаков необходимо определить количество групп и интервалы группировки.

Интервалом называется разница между максимальным и минимальным значениями признака в каждой группе. Интервалы групп могут быть равными и неравными. При равных интервалах величина их определяется по формуле:

где X_{max и} X_min - наибольшее и наименьшее значение признака

n - число групп.

Число групп с равными интервалами можно определить по формуле Стерджесса:

n = 1 + 3,322 lg N,

где N – численность единиц совокупности.

На основании формулы Стерджесса можно применить следующую номограмму:

N	15 - 24	25 - 44	45 - 89	90 - 179	180-359	360-719	720-1439
n	5	6	7	8	9	10	11

Виды группировок. Различают несколько видов группировок: типологические, структурные, аналитические. Типологические группировки – выделяют типы социальных и экономических явлений (группировка предприятий секторов экономики по формам собственности, населения по общественным группам и др.). Структурные группировки – характеризуют структуру явления и структурные сдвиги (изучение состава населения по полу, возрасту и другим признакам, структура депозитов по сроку их привлечения, определение каждого вида транспорта в транспортном балансе страны и т.д.). Аналитические группировки – выявляют связи и взаимозависимости между явлениями и их признаками (группировка предприятий определенной отрасли экономики по уровню производительности труда для выявления ее влияния на себестоимость продукции).

Решение должно быть оформлено в виде групповой таблицы, имеющей заголовок, наименование подлежащего, сказуемого, единицы измерения. После заполнения таблицы дайте ее анализ: сделайте выводы.

Задача 2 посвящена выбору вида и формы средней, исчислению средней.

При изучении вопроса о применении средних особое внимание следует обратить на то, что каждый вид средней определяется в зависимости от конкретного экономического условия и от поставленной задачи. В противном случае средняя даст ошибочный результат и будет являться искаженной характеристикой изучаемой статистической совокупности. Это основное условие применения средней.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

В статистическом анализе используют следующие виды средних величин:

• средняя арифметическая простая;

• средняя арифметическая взвешенная;

• средняя гармоническая;

• средняя геометрическая;

• структурные средние: мода и медиана.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

где X – значение показателя;

n - число значений.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда имеется некоторая повторяемость значений единиц совокупности. Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле:

где f – частота (повторяемость признака).

Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты и веса имеют большие значения. Использование математических свойств средней арифметической взвешенной позволяет значительно упростить вычисления. В этом случае среднюю величину исчисляют по способу момента или отсчета от условного нуля. Этот способ применяется в интервальных рядах с равными интервалами. Средняя величина по способу момента исчисляется по формуле:

где i - величина интервала;

m₁ - момент первого порядка;

A - одна из вариант.

m₁ – момент первого порядка – исчисляют формулой:

где x₁ - это условная (приведенная) варианта.

.

Средняя гармоническая представляет собой величину, обратную средней арифметической, исчисленной из обратных значений признака. Формула средней гармонической следующая:

- простая; -взвешенная,

где х – величина, для которой вычисляется средняя;

- частота, вес признака ( =xf).

Средняя гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда неизвестны действительные веса f, а известно =xf. Например, по средней гармонической определяется средняя цена товара по сети магазинов при наличии данных о стоимости ( в формуле - ) и цене (х) его продаж в отдельных магазинах, или средняя заработная плата работников фирмы при имеющихся данных о фонде заработной платы с средней заработной плате в отдельных ее подразделениях и др.

Определять среднюю величину удобнее во многих случаях через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

_{ИСС =} Суммарное значение или объем осредняемого признака

Число единиц или объем совокупности

Модой в статистике называют наиболее часто встречающееся значение признака в вариационном ряду. В дискретном ряду она определяется по наибольшей частоте. Медианой в статистике называют значение признака в возрастающем или убывающем вариационном ряду, которое находится в середине ряда. Медиана делит все единицы совокупности на две части: со значениями ниже и выше значения медианы.

Мода в дискретном ряду не требует вычислений, ее определяют по наибольшей частоте.

Вычисление медианы в дискретных рядах имеет специфику. Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание продолжается до получения накопленной суммы частот, впервые превышающей половину.

В интервальных рядах исчисление моды и медианы производится иначе. Предварительно находятся модальный и медианный интервалы. Модальный интервал находится по наибольшей частоте.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:

где x_Mo – нижняя граница значения модального интервала;

i_{Mo -} величина модального интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Для нахождения медианного интервала нужно сумму частот поделить пополам, а затем накапливать частоту до тех пор, пока она не дойдет до половинного значения частот или превысит его.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле:

,

где x_Me – нижняя граница медианного интервала;

i_Me - величина медианного интервала;

- сумма частот;

S_Me- –сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_Me - частота медианного интервала.

Задача 3 составлена по теме курса аналитической статистики «Вариационный анализ».

Исследование вариации в статистике и социально – экономических исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризует ее однородность и степень надежности средних величин, исчисленных в данной совокупности. Очень важно научиться свободно исчислять все показатели вариации.

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели вариации:

• размах вариации (R);

• среднее линейное (абсолютное) отклонение ( );

• среднее квадратическое отклонение ;

• дисперсия ;

• коэффициент вариации (V).

Наиболее простым показателем вариации является размах вариации R, который определяется как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

R = x_max - x_min.

Этот показатель прост в вычислении и указывает на общие размеры вариации, но он не дает представления о степени колеблемости внутри совокупности, так как вычисляется на основе только двух крайних значений признака.

Чтобы определить вариацию признака единиц совокупности надо исчислить отклонения каждого значения признака х от средней арифметической .

Среднее линейное (абсолютное) отклонение ( ) есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

- простая форма и - взвешенная форма

Для расчета среднего линейного отклонения необходимо исчислить среднюю арифметическую.

Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсия ( ) и среднее квадратическое отклонение ( ).

В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

- дисперсия не взвешенная (простая);

- дисперсия взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

- среднее квадратическое отклонение не взвешенное;

- среднее квадратическое отклонение взвешенное.

Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

Коэффициент вариации (V)– относительный показатель. Его применяют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, и средняя величина, вычисленная в данной совокупности надежной (типичной), если коэффициент вариации не превышает 33%. Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Целесообразно для сокращения трудоемкости расчетов в интервальных рядах использовать при определении средней величины и дисперсии способ моментов:

и ,

где m_{2 –} момент второго порядка.

.

Методология исчисления момента первого порядка m₁, условной (приведенной) варианты x₁ приведена в методических указаниях к задаче 2.

Задача 4 составлена на тему «Статистическое изучение связи между явлениями». Задача предполагает анализ парной корреляционной связи между факторным и результативным признаками.

Связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты (слабые, сильные), по направлению (прямые, обратные) и по аналитическому выражению (линейные, нелинейные).

В корреляционном анализе для выявления наличия или отсутствия корреляционной связи используется ряд специфических методов:

• параллельное сопоставление рядов значений факторного и результативного признаков (анализ параллельных рядов);

• графическое изображение фактических данных с помощью поля корреляции;

• построение групповой и корреляционной таблиц;

• дисперсионный анализ (см. тему « Виды дисперсий»).

Метод анализа параллельных рядов заключается в том, что полученные в результате сводки и обработки материалы располагаются в виде параллельных рядов факторного и результативного признаков и сопоставляют их между собой для установления характера и тесноты связи. Для этого используют разные показатели. Простейшим из них считается коэффициент корреляции знаков, или коэффициент Г. Фехнера. Для его расчета вычисляют средние значения обоих признаков и затем определяют знаки отклонений от средней для всех значений взаимосвязанных признаков. Приняв число совпадений знаков отклонений индивидуальных значений от средней за С, а число несовпадений – за Н, коэффициент запишем следующим образом:

.

Коэффициент Фехнера целесообразно использовать для установления факта наличия связи при небольшом объеме исходной информации. Он принимает значения от -1 до +1. Положительное его значение говорит о прямой связи, отрицательное – об обратной. Близость к нулю говорит о слабой связи, близость к 1 говорит о существенной связи.

Наибольшее применение для изучения корреляционной связи имеет коэффициент корреляции рангов К. Спирмэна. Коэффициент корреляции рангов К. Спирмэна ( ) основан на рассмотрении разности рангов значений признаков. Формула его такова:

где n – число сопоставимых пар;

d – разность между рангами.

Этот коэффициент интерпретируется так же как и коэффициент Г. Фехнера, имеет те же свойства и пределы изменения (от -1 до +1). Он может применяться при любой форме распределения и для любых признаков.

. В регрессионном анализе связь между признаками описывается уравнениями. Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой (уравнением парной линейной корреляционной связи или уравнением парной регрессии), который имеет вид:

где - среднее значение результативного признака у при определенном значении факторного признака х;

a - свободный член уравнения;

b - коэффициент регрессии, уточняющий связь между х и у. Показывает на сколько единиц увеличится результативный признак при увеличен факторного признака на единицу.

Параметры уравнения регрессии a и b находят решением системы нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов или по формулам:

,

где - дисперсия факторного признака х, исчисленная способом разности квадратов.

.

Оценка существенности корреляционной связи, теснота связи и направление связи при линейной зависимости выполняется с помощью линейного коэффициента корреляции (r). В статистической теории разработаны и применяются на практике различные модификации формул расчета данного коэффициента. Наиболее удобной формулой для расчета коэффициента является следующая:

,

где - средние квадратические отклонения факторного и результативного признаков.

Зная, что , изменим формулу линейного коэффициента корреляции:

.

Задача 5 предполагает изучение темы «Ряды динамики». Необходимо уяснить смысл аналитических показателей динамики.

Для анализа рядов динамики используется система абсолютных и относительных показателей: абсолютный прирост, темп роста, коэффициент роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста и пункты роста.

Перечисленные показатели динамики можно исчислять с переменной (цепные показатели динамики) или с постоянной базой сравнения (базисные показатели динамики).

Методы расчета показателей динамики одинаковы для интервальных и моментных рядов, представлены таб.1.

При расчете показателей динамики приняты следующие обозначения:

y_i – уровень любого периода(кроме первого), называемый уровнем текущего периода;

y_i-1 – уровень периода, предшествующего текущему;

y₀ - уровень, принятый за постоянную базу сравнения (часто начальный уровень).

Таблица 1

Показатели динамики

Наименование показателя	Метод расчета
	с переменной базой (цепные)	с постоянной базой (базисные)
1. Абсолютный прирост ( )
2. Коэффициент роста (К)
3. Темп роста (Т), %
4. Темп прироста ( ,%	=

Показатель абсолютного значения 1 % прироста определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста, т. е. или 0,01^. у_i-1. Расчет этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе.

Для характеристики динамики явлений в ряде случаев используются пункты роста (%), когда сравнение производится с отдаленным периодом. Пункты роста представляют собой разность темпов прироста с постоянной базой двух смежных периодов, Пункты роста можно складывать, в результате получают темп прироста соответствующего периода по сравнению с базисным:

Показатель	1996 г.	1997 г.	1998 г.	1999 г.
Уровень ряда	100	120	135	148
Темп роста с постоянной базой сравнения (базисный), %	-	120	135	148
Темп прироста с постоянной базой сравнения (базисный), %	-	20	35	48
Пункты роста, %	-	20	15	13

Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитываются средние показатели: средние уровни ряда и средние показатели изменения уровней ряда. Методика их расчета представлена в табл.2.

В приведенных формулах расчета приняты следующие обозначения:

- у_1, у₂, …, у_п - абсолютные уровни ряда;

- - средний уровень между двумя соседними датами;

- n - число уровней;

- t - продолжительность периода, в течение которого уровень не изменялся.

Таблица 2

Средние показатели ряда динамики

Наименование показателя	Метод расчета
1. Средний уровень ряда : а) для интервального ряда при равных интервалах
б) для интервального ряда при неравных интервалах
в) для моментного ряда с равностоящими датами
г) для моментного ряда с неравностоящими датами
2. Средний абсолютный прирост ( )	или
3. Средний коэффициент роста ( )	или
4. Средний темп роста ( )	или
5. Средний темп прироста ( )	или

Задача 6 составлена на тему «Индексы». В задаче в зависимости от условия применяются различные индексы: индивидуальные, общие (агрегатные), средние арифметические, средние гармонические, индексы средних величин (переменного, постоянного составов и структурных сдвигов).

Индекс является результатом сравнения двух одноименных показателей, поэтому при их вычислении различают сравнивае­мый уровень (числитель индексного отношения), называемый текущим или отчетным, и уровень, с которым производится сравнение (знаменатель индексного отношения), называемый базисным. Выбор базы определяется целью исследования.

При изучении динамики за базисную величину принимают размер показателя в каком-либо периоде, предшествующем от­четному. При этом возможны два способа расчета индексов -цепной и базисный. Цепные индексы получают путем сопос­тавления текущих уровней с предшествующим. Следовательно, база сравнения непрерывно меняется. Базисные индексы полу­чают путем сопоставления с уровнем какого-либо одного перио­да, принятого за базу сравнения.

Для удобства применения индексного метода, составления формул индексов и их использования в статистико-экономическом анализе в теории статистики разработана определенная сим­волика и применяются соответствующие условные обозначения.

Каждая индексируемая величина имеет свое символическое обозначение:

q - количество продукции одного вида в натуральном выра­жении;

р - цена за единицу продукции (товара);

z - себестоимость единицы продукции;

t - затраты труда (рабочего времени) на единицу продукции;

pq – стоимость продукции (товара) или выручка от реализации продукции (товара);

zq – затраты на производство продукции (издержки производства);

tq – общие затраты труда на выпуск всех видов продукции.

Индексы по отдельным элементам изучаемого сложного экономического явления (т.е. индивидуальные индексы) обозначаются символом i, у которого проставляется символ соответствующей индексируемой величины. Например, i_q – индивидуальный индекс объема (количества) отдельного вида продукции.

Общий (сводный) индекс изучаемого сложного экономического явления обозначается символом I, у которого отражается символ индексируемой величины. Например, I_q – общий индекс физического объема продукции.

Для отражения базисных периодов периода времени применяются специальные обозначения. Например, p₁- цена отдельного вида товара в отчетном (текущем) периоде времени; р₀ – цена отдельного вида товара в базисном (предыдущем) периоде времени.

Индивидуальные и общие индексы. Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс, который характеризует изменение во времени (или в пространстве) отдельных элементов той или иной совокупности. Так, индивидуальный индекс цены рассчитывается по формуле:

,

где р₁ – цена товара в отчетном (текущем) периоде;

р₀ - цена товара в базисном периоде.

Все расчеты индексов производятся в коэффициентах – с точностью до 0,001 и в процентах – с точностью до 0,1.

Общий (сводный) индекс – это сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально- экономического явления, состоящего из непосредственно несоизмеримых элементов. Исходной формой общих индексов является агрегатная (индексы агрегатные). Агрегатный индекс представляет собой отношение сумм произведений индексируемых величин и их весов.

общий (сводный) индекс товарооборота:

общий (сводный) индекс цен( по методу Пааше):

.

общий (сводный) индекс физического объема реализации.:

.

Между этими индексами существует следующая взаимосвязь:

I_p ^. I_q = I_pq.

В ряде случаев на практике вместо индексов в агрегатной форме удобнее использовать средние арифметические и средние гармонические индексы.

Индексы качественных показателей (цен, себестоимости, трудоемкости и др.) определятся по средней гармонической из индивидуальных индексов. Так, агрегатный индекс цен преобразуется в средний гармонический индекс цен.

Индексы объемных (физического объема продукции и др.) определяются по средней арифметической из индивидуальных индексов. Так, агрегатный индекс количества реализованных товаров преобразуется в тождественный ему среднеарифметический индекс:

Все рассмотренные выше индексы рассчитывались по нескольким товарам, реализуемым в одном месте, или видам продукции, производимым на одном предприятии. Рассмотрим случаи, когда один товар реализуется в нескольких местах или один вид продукции производится на ряде предприятий.

Если реализуется только один вид продукции, вполне правомерно рассчитать его среднюю цену в каждом периоде, Индекс переменного состава представляет собой отношение двух полученных средних значений:

Данный индекс характеризует не только изменение индивидуальных цен в местах продажи, но и изменение структуры реализации по предприятиям розничной или оптовой торговли, рынкам, городам и регионам. Для оценки воздействия этого фактора рассчитывается индекс структурных сдвигов:

Последним в данной системе является индекс цен фиксированного состава, который не учитывает изменение структуры:

=

Между индексами существует взаимосвязь:

.

Индексный метод широко применяется для анализа роли отдельных факторов в динамике какого-либо сложного явления, изменение которого обусловлено действием нескольких факторов, выступающих как множители совокупного результата. Так, например, динамика товарооборота в фактических ценах обусловлена изменением количества проданных товаров и цен на них. Индексы физического объема товарооборота и индексы цен должны выступать как измерители роли этих факторов. А для этого они должны быть связаны в единую индексную систему так, чтобы произведения этих индексов давало показатель динамики товарооборота в фактических ценах. Алгебраически это выглядит так:

Общее абсолютное изменение товарооборота за счет двух факторов составляет:

или

Абсолютное изменение товарооборота за счет отдельных факторов:

а) изменения цен на продукцию:

б) изменения физического объема продукции: