22.4. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

а) Обозначим через направляющие косинусы нормали ориентированной поверхности в произвольной её точке. Тогда поверхностные интегралы второго рода выразятся через поверхностные интегралы первого рода с помощью формул:

,

,

,

или, в общем виде,

+ + = .

б) Если поверхность S задана уравнением в неявном виде , то направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам

, , ,

где ;

выбор знака перед корнем должен быть согласован с выбранной стороной поверхности S.

5. Формула Остроградского – Гаусса

Формула устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности S и тройным интегралом по пространственной области V, ограниченной этой поверхностью:

.

5. Формула Стокса

Формула устанавливает зависимость между интегралом по поверхности S и криволинейным интегралом по границе L этой поверхности (при надлежащем выборе обхода по кривой L):

или, в символической форме,

,

где - направляющие косинусы нормали к поверхности S, и направление нормали таково, что обход по контуру L совершается против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали.

23. Элементы теории поля

23.1. Градиент скалярного поля

Градиент скалярного поля в данной точке есть вектор, определяемый равенством:

.

Основные правила вычисления градиента:

;

;

.

23.2. Дивергенция векторного поля

Дивергенция (расходимость) векторного поля

определяется формулой .

Основные свойства дивергенции:

;

;

,

где - скалярное поле.

Если во всех точках М некоторой области G дивергенция векторного поля (заданного в области G) равна нулю:

,

то поле называется соленоидальным; оно не имеет ни источников, ни стоков.

23.3. Ротор векторной функции

Ротор (вихрь) векторной функции

есть вектор, определяемый по формуле:

или, в символической форме,

.

Основные свойства ротора:

;

;

,

где - скалярное поле.

Если в некоторой области G имеем

,

то поле вектора в области G называется безвихревым.

23.4. Формула Остроградского – Гаусса в векторной форме

Формула Остроградского – Гаусса (22.5) в векторной форме имеет вид:

,

где .

Смысл этой формулы следующий:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному поверхностью S.

5. Формула Стокса в векторной форме

Формула Стокса (22.6) в векторной форме имеет вид:

и читается так: циркуляция поля вектора по контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность S, натянутую на контур L.

23.6. Оператор Гамильтона

Оператор Гамильтона (читается: «оператор «набла») – символический вектор

.

Формально перемножая этот вектор на скалярную функцию U или вектор (скалярно или векторно), получим формулы для градиента (24.1), дивергенции (24.2), ротора (24.3):

23.7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Градиент, дивергенция и ротор есть дифференциальные операции первого порядка. Образование дифференциальных операций второго порядка изображено на схеме

( - скалярное поле, - векторное поле ).

Дифференциальные операции Дифференциальные операции Поле I порядка II порядка