21.3. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
Пусть касательная
к кривой АВ
в точке М(х,у)
составляет с осями координат Ох
и Оу,
соответственно, углы
.
Тогда
.
Заменяя в криволинейных интегралах второго рода dx и dy этими выражениями, получим криволинейные интегралы первого рода:
,
=
=
=
.
Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами.
Если L – граница области S и функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области L + S , то справедлива формула Грина:
,
где обход границы L выбирается так, чтобы область S оставалась слева:
22. Поверхностные интегралы
22.1. Поверхностный интеграл первого рода
а) Пусть в точках гладкой поверхности S определена непрерывная функция .
Поверхностный интеграл первого рода представляет собой предел:
,
(*)
где
-
площадь i
–
го элемента поверхности S,
точка
принадлежит этому элементу, а
–
наибольший
из диаметров частей поверхности.
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла.
Пусть
поверхность S
задана уравнением
,
где функция
,
вместе с производными
и
,
непрерывна в замкнутой области D
– проекции S
на плоскость Оху.
Тогда поверхностный интеграл (*)
вычисляется по формуле
22.3. Поверхностный интеграл второго рода
а)
Пусть
- непрерывная функция и S
– гладкая ориентированная поверхность.
Если нормали
в точках поверхности составляют острые
углы с осью
Ох, то говорят, что выбрана верхняя
сторона поверхности S,
если тупые
углы, то
выбрана нижняя
сторона поверхности.
Поверхностный интеграл второго рода от функции по выбранной стороне поверхности S по переменным х и у представляет собой предел:
,
где
-
проекция i
–ой части поверхности S
на плоскость Оху, точка
принадлежит этой части поверхности,
-
наибольший из диаметров частей
поверхности.
Аналогичным образом
для непрерывных функций
и
,
заданных на поверхности S,
определяются поверхностные интегралы
второго рода по выбранной стороне
поверхности S
по переменным y,z
и x,z
:
,
.
б) Сумму поверхностных интегралов
+
+
называют общим поверхностным интегралом второго рода и обозначают
+
+
.
(*)
в) Поверхностный интеграл второго рода меняет свой знак на обратный при переходе на другую сторону поверхности.
г) Вычисление поверхностных интегралов второго рода сводится к вычислению двойных интегралов.
Пусть поверхность
S
задана
уравнением
.
Выберем верхнюю
её сторону. Пусть функция
непрерывна на поверхности S
и
-
проекция поверхности S
на плоскость Оху.
Тогда поверхностный интеграл по
переменным х,
у вычисляется
по формуле
.
Если выбрать нижнюю сторону поверхности S, то перед интегралом справа появится знак минус.
Аналогично имеем:
,
,
где поверхность
S
задана, соответственно, уравнениями
и
,
а
и
-
проекции поверхности S,
соответственно, на плоскости Oyz
и Oxz.
Для вычисления поверхностного интеграла общего вида (*) используют эти же формулы.