20.1. Определение

Тройным интегралом от непрерывной функции , распространённым на ограниченную замкнутую область пространства V , называется предел следующего вида: ,

и обозначают ,

где точка и d – наибольший диаметр областей .

2. Вычисление тройного интеграла

Если область интегрирования V определяется неравенствами

,

где - непрерывные функции, то тройной интеграл от непре- рывной функции может быть вычислен по формуле:

.

20.3. Замена переменных в тройных интегралах 20.3.1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах , где , имеет вид:

.

20.3.2. Тройной интеграл в сферических координатах , где , имеет вид:

20.4. Приложения тройных интегралов

1. Объём области трёхмерного пространства

.

2. МАССА ТЕЛА

Масса тела, занимающего объём V:

,

где - плотность тела в точке .

3. Статические моменты тела

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей xy, yz, xz:

,

,

.

3. Координаты центра тяжести тела

,

20.4.5. Моменты инерции относительно осей координат

,

,

.

Если тело однородное, то во всех формулах

21. Криволинейные интегралы

1. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги )

а) Пусть - непрерывная функция и АВ – непрерывная кривая на плоскости Oxy. Криволинейный интеграл первого рода представляет собой предел

, (*)

где - длина i – го элемента дуги АВ, точка принадлежит этому элементу, - дифференциал дуги.

б) Если кривая АВ задана уравнением , где , то криволинейный интеграл (*) вычисляется по формуле

.

в) Если кривая АВ задана в параметрической форме

,

то .

г) Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления пути интегрирования, т.е. .

д) Аналогично определяется криволинейный интеграл первого рода от функции трёх переменных , взятый по пространственной кривой.

21.2. Криволинейный интеграл второго рода ( по координатам )

а) Пусть - непрерывная функция и АВ – непрерывная кривая на плоскости Oxy. Криволинейный интеграл второго рода от функции по этой кривой в направлении от А к В по переменной х представляет собой предел

,

где - проекция элемента дуги на ось Ох, а точка принадлежит этому элементу дуги .

б) Аналогичным образом можно определить для непрерывной функции , заданной на кривой АВ, криволинейный интеграл второго рода по этой кривой в направлении от А к В по переменной y :

, (**)

где - проекция элемента дуги кривой АВ на ось Оy, а точка принадлежит этому элементу дуги.

в) Сумму криволинейных интегралов (*), (**):

также называют криволинейным интегралом второго рода и записывают

.

г) Если кривая АВ задана уравнением , пробегаемая от А к В при изменении х от а до b, то

. .

д) Если кривая АВ задана параметрическими: , то

.

е) Криволинейный интеграл второго рода меняет свой знак на обратный при изменении направления пути интегрирования:

= .

ж) Аналогичные формулы справедливы для криволинейного интеграла второго рода, взятого по пространственной кривой.