3.16. Целая рациональная функция (или многочлен)

,

- многочлен степени n; - коэффициенты многочлена, - коэффициент при старшем члене, - свободный член многочлена.

3.17. Квадратичная функция

Примером целой рациональной функции является квадратичная функция ; здесь - коэффициенты, причём , - любые числа.

Графиком функции является парабола.

Частные случаи:

a>0 a<0

Примеры: (1): ; (2): ; (3): ; (4): ; (5): ; (6): (8): ; (7):

Общий случай: . Выражение - дискриминант, - корни квадратного трехчлена, - абсцисса вершины параболы.

x1 х0 x2 Дискриминант D > 0 – два различных корня (парабола пересекает ось Ох в двух точках):

X1 ,2 Дискриминант D = 0 – корни равные (парабола касается оси Ох) :

Дискриминант D < 0 – действительных корней нет (парабола не пересекает и не касается оси Ох)

3.18. Рациональная функция

Отношение двух многочленов называется рациональной функцией

.

• Если , то рациональная функция (рациональная дробь) называется неправильной, если , то правильной.

• Если дробь - неправильная, её всегда можно представить в виде , где дробь - правильная ( ). Этого можно достигнуть с помощью деления “ уголком”.

Пример.

.

3.19. Дробно-линейная функция

Простейшим случаем рациональной функции является дробно-линейная функция  , где коэффициенты - любые числа и определитель . Это условие означает, что Графиком этой функции является гипербола со смещённым центром и асимптотами, параллельными осям координат.

Примеры.

Частным случаем дробно-линейной функции является функция . Её графиком является гипербола с центром в начале координат (асимптотами являются оси координат). По-другому функцию называют законом обратной пропорциональности, k – коэффициент пропорциональности.

3.20. Показательная функция

(0<a<1) ( a>1)

3.21. Логарифмы. Логарифмическая функция

1). Если то , ( а > 0, а 1, b>0 ).

Логарифмы, взятые по основанию 10, называются десятичными, а по основанию е = 2,718281828459...- натуральными и обозначаются, соответственно, lg , ln .

Из определения логарифмов имеем

- основное логарифмическое тождество.

2). Свойства логарифмов

; ; ; ; ; ; ; 8. - формула перехода к новому основанию

; ; 11. ; 12. ; 13. При a > 1 если N > 1; если 0 < N < 1 При 0 < a < 1 наоборот, если N > 1; если 0 < N < 1 .

Определение. Функция, обратная показательной функции , где , называется логарифмической функцией и обозначается

3. График логарифмической функции. Он симметричен графику

показательной функции относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов

,

4) Графики логарифмической функции при различных основаниях a