6. Линии второго порядка

Эллипс (в частности, окружность), гипербола и парабола являются линиями второго порядка, т.е. во всякой системе декартовых координат представляются уравнениями второй степени. Но не всякое уравнение второй степени представляет одну из упомянутых линий. Может, например, случиться, что уравнение второй степени представляет пару прямых.

Случай 1. Уравнение

, (1)

распадающееся на два уравнения и , представляет пару прямых, пересекающихся в начале координат.

Случай 2. Уравнение

, (2)

распадающееся на уравнения и , представляет пару параллельных прямых.

Случай 3. Уравнение

, (3)

т.е. . Представляет одну прямую ; но ввиду того, что в левую часть (3) двучлен входит множителем дважды, принято считать, что (3) представляет две слившиеся прямые.

Может случиться, что уравнение второй степени представляет только одну точку.

Случай 4. Уравнение

(4)

имеет только одно действительное решение, именно х=0, у=0. Оно представляет точки (0;0). Впрочем (4) распадается на два уравнения , с мнимыми коэффициентами. Поэтому говорят, что (4) представляет «пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке».

Наконец, может оказаться, что уравнение второй степени не представляет никакого геометрического места.

Случай 5. Уравнение

(5)

не представляет ни линии, ни даже точки, так как величина не может иметь положительного значения. Однако ввиду внешнего сходства уравнение (5) представляет «мнимый эллипс».

Случай 6. Уравнение

(6)

тоже не представляет ни линии, ни даже точки. Но так как оно распадается на уравнения и , то говорят, что (6) представляет «пару мнимых параллельных прямых».

Коническими сечениями и парами прямых исчерпываются все линии, которые могут представляться уравнением второй степени в декартовой системе координат. Иными словами, имеет место следующая теорема.

Теорема. Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпавших).

Пример 1. Показать, что уравнение определяет совокупность двух прямых.

Решение.

Перепишем уравнение в виде . Разложив левую часть на множители, получаем . Таким образом, заданное уравнение определяет прямые и .

Пример 2. Показать, что уравнение определяет совокупность двух прямых.

Решение.

Перепишем уравнение в виде . Разрешим уравнение относительно у:

, или .

Получаем уравнения прямых и . Эти уравнения можно записать в виде , .

Пример 3. Какая линия определяется уравнением ?

Решение.

Запишем уравнение в виде , или . Таким образом, уравнение определяет две прямые и , одна из которых параллельна оси Ох, а другая параллельна оси Оу.

Задания для самостоятельного решения

1. Показать, что нижеследующие уравнения определяют кривые, распадающиеся на пару прямых, и найти уравнения этих прямых.

а) ;

б) ;

в) .

7. Пятичленное уравнение кривой второго порядка

Уравнение второй степени вида

(1)

(не содержащая члена ху с произведением координат) называется пятичленным уравнением кривой второго порядка. Оно определяет на плоскости хОу эллипс, гиперболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых) с осями симметрии, параллельными осям координат, в зависимости от знака произведения коэффициентов А и С.

1. Пусть AC>0; тогда определяемая этим уравнением кривая есть эллипс (действительный, мнимый или выродившийся в точку); при А=С эллипс превращается в окружность.

2. Пусть AC<0; тогда соответствующая кривая является гиперболой, которая может вырождаться в две пересекающиеся прямые, если левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множителей;

.

3. Пусть AC=0 (т.е. либо А=0, С≠0, либо С=0, А≠0); тогда уравнение определяет параболу, которая может вырождаться в две параллельные прямые (действительные различные, действительные слившиеся или мнимые), если левая часть уравнения не содержит либо х, либо у (т.е. если уравнение имеет вид или .

Вид кривой и расположение ее на плоскости легко устанавливаются преобразованием уравнения к виду (в случае AC>0 или AC<0); по виду полученного уравнения обнаруживаются и случаи распада или вырождения эллипса и гиперболы.

В случае невырожденных кривых переносом начала координат в точку О₁ (х₀; у₀) полученное уравнение эллипса или гиперболы можно привести к каноническому виду.

Пример 1. Какую линию определяет уравнение ?

Решение.

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

;

;

;

.

Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку О’ (1;2). Воспользуемся формулами преобразования координат: , . Относительно новых осей уравнение кривой примет вид

, или .

Таким образом, заданная кривая является эллипсом.

Пример 2. Какую линию определяет уравнение ?

Решение.

Преобразуем данное уравнение так:

;

;

.

Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку О’ (-1;2). Формулы преобразования координат: , . После преобразования координат получим уравнение

, или .

Кривая является гиперболой. Асимптотами этой гиперболы относительно новых осей служат прямые .

Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение

.

Решение.

1. Преобразуем уравнение с помощью формул поворота осей:

или

Приравнивая нулю коэффициент при произведении x’y’, имеем , откуда , т.е. , . Возьмем , откуда и , . Тогда уравнение принимает вид

,

или .

2. Выражение в скобках дополним до полного квадрата:

,

или .

Приняв за новое начало точку , применим формулы преобразования координат , ; получим (уравнение параболы).