Задания для самостоятельного решения

1. Построить параболы, заданные уравнениями:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ,

а также фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.

2. Написать уравнение параболы:

а) проходящей через точки (0;0), и (1;3) и симметричной относительно оси Ох;

б) проходящей через точки (0;0) и (2;-4) и симметричной относительно оси Оу.

3. Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы и касающейся ее директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности.

4. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси Оу. Построить окружность, прямую и параболу.

5. Составить простейшее уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой с осью Ох.

6. На параболе найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и отсекающей от прямой хорду длиной .

8. Парабола отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду, длина которой равна . Составить уравнение этой прямой.

9. Составить простейшее уравнение параболы, если длина хорды, перпендикулярной оси симметрии и делящей пополам расстояние между фокусом и вершиной, равна 1.

10. На параболе найти точку, расстояние которой от прямой равно 2.

11. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку М (4;2); определить угол  между фокальным радиусом-вектором этой точки и осью Ох.

12. На параболе найти точку, фокальный радиус-вектор которой равен 4,5.

13. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси Ох. Построить прямую, окружность и параболу.

14. Написать уравнения касательных к параболе , проведенных из точки А (0;-2).

5. Диаметры и касательные к кривым 2-го порядка

Диаметром кривой 2-го порядка - называется геометрическое место середин параллельных хорд. Диаметрами эллипса и гиперболы оказываются отрезки и лучи прямых, проходящих через центр, а диаметрами параболы – лучи, параллельные ее оси.

Уравнение диаметра, делящего пополам хорды с наклоном , будет:

для кривых:

; (1)

для параболы :

. (2)

Два диаметра эллипса и гипербол, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому, называются взаимно сопряженными. Их угловые коэффициенты и связаны зависимостью (у эллипса) и (у гиперболы).

Уравнения касательной:

к эллипсу ( ) ;

к гиперболе ( ) ;

к параболе ( ) ,

где - точка касания.

Задания для самостоятельного решения

1. Построить эллипс , его директрисы и найти расстояния точки эллипса с абсциссой х=-3 от правого фокуса и правой директрисы.

2. Построить гиперболу , ее директрисы и найти расстояния точки гиперболы с абсциссой х=5 от левого фокуса и левой директрисы.

3. Написать каноническое уравнение эллипса, директрисами которого служат прямые и большая полуось которого равна 2.

4. Написать уравнение гиперболы, асимптоты которой , а директрисы .

5. Построить эллипс , диаметр и сопряженный ему диаметр и найти длины a₁ и b₁ построенных полудиаметров.

6. Построить гиперболу , диаметр и сопряженный ему диаметр и найти угол между диаметрами.

7. Найти длину того диаметра эллипса , который равен своему сопряженному диаметру.

8. Дан эллипс . Через точку (-2;1) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.

9. Дана парабола . Через точку (-2;1) провести хорду, делящуюся в точке пополам.

10. Написать уравнения касательных к кривым:

а) ;

б) ;

в)

в точке с абсциссой х₀=2.

11. Написать уравнения касательных к эллипсу , параллельных биссектрисе первого координатного угла.

12. Написать уравнения касательных к эллипсу , проведенных из точки (0;6).

13. Написать уравнение касательной к эллипсу , отсекающей на осях координат равные положительные отрезки.

14. Написать уравнения касательных к гиперболе , перпендикулярных к прямой .

15. Найти точки пересечения асимптот гиперболы с ее директрисами.

16. Построить эллипс , его диаметр и сопряженный ему диаметр и найти угол между этими диаметрами.

17. Дана гипербола . Через точку (2;2) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.