Задания для самостоятельного решения
1. Построить гиперболу
и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет
и угол между асимптотами.
2. На гиперболе
взята точка М с ординатой равной 1.
Найти расстояния ее от фокусов.
3. Найти расстояние фокуса гиперболы от ее асимптот и угол между асимптотами.
4. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния одной из ее вершин от фокусов равны 9 и 1.
5. Составить уравнение гиперболы,
проходящей через точку М (9;8), если
асимптоты гиперболы имеют уравнения
.
6. Найти уравнение гиперболы, вершины
и фокусы которой находятся в соответствующих
фокусах и вершинах эллипса
.
7. Через точку М (0;-1) и правую вершину
гиперболы
проведена прямая. Найти вторую точку
пересечения прямой с гиперболой.
8. Дана гипербола
.
Найти софокусный эллипс, проходящий
через точку М (4;6).
9. Дан эллипс
.
Написать уравнение софокусной равнобочной
гиперболы.
10. Угол между асимптотами гиперболы равен 60. Вычислить эксцентриситет гиперболы.
11. На левой ветви гиперболы
найти точку, правый фокальный радиус-вектор
которой равен 18.
12. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса .
13. Найти фокальные радиусы-векторы
гиперболы
в точках пересечения ее с окружностью
.
14. Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси.
15. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная.
16. Найти уравнение множества точек,
равноотстоящих от окружности
и от точки М (2;0).
4. Парабола
Парабола
– множество всех точек плоскости,
равноудаленных от данной точки, называемой
фокусом, и данной прямой, называемой
директрисой.
Если директрисой параболы является
прямая
,
а фокусом – точка F
,
то уравнение параболы имеет вид
. (1)
Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рисунок, где р>0)
Уравнение
(2)
является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат. При p>0 параболы (1) и (2) обращены в положительную сторону соответствующей оси, а при p<0 – в отрицательную сторону.
Длина фокального радиуса-вектора
параболы
определяется по формуле
(p>0).
Построение параболы по данному параметру р
Проведем (рисунок) прямую PQ
(директрису параболы) и на данном
расстоянии p=CF
от нее возьмем точку F
(фокус). Середина О отрезка CF
будет вершиной, а прямая – CF
осью параболы. На луче ОF
возьмем произвольную точку R
и через нее проведем прямую RS,
п
ерпендикулярную
к оси. Из фокуса F, как
из центра, опишем окружность радиусом,
равным CR. Она пересечет
RS в двух точках М,
М. Точки М
и М
принадлежат искомой параболе, так
как по построению FM=CR=KM.
Меняя положение точки R,
будем находить новые точки параболы.
П
арабола
как график уравнения
Уравнение
представляет ту же параболу, что и
уравнение
,
только теперь ось параболы совпадает
с осью ординат; начало координат
по-прежнему совпадает с вершиной
параболы. Фокус находится в точке F
.
Директриса PQ
представляется уравнением
.
Если за положительное направление на оси ординат принять не направление OF, а направление FO, то уравнение параболы будет
. (3)
Сообразно с этим графиками функций
(4)
служат параболы, обращенные вогнутостью вверх, когда a>0, и вниз, когда a<0. Чем меньше абсолютное значение а, тем ближе фокус от вершины, тем больше «раствор» параболы.
Всякое уравнение
(5)
графически изображается той же параболой,
что и уравнение
(для обеих парабол расстояние
от вершины до фокуса равно
).
Обе обращены вогнутостью в одном и том
же направлении. Но вершина параболы (5)
лежит не в начале, а в точке А с
координатами
,
. (6)
Пример 1. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси Ox, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.
Решение.
Так как известны длина хорды и расстояние
ее от вершины, то, следовательно, известны
координаты конца этой хорды – точки М,
лежащей на параболе. Уравнение параболы
имеет вид
;
полагая в нем х=6, у=8, находим
,
откуда
.
Итак, уравнение искомой параболы
.
Пример 2. Составить уравнение
параболы с вершиной в начале координат,
симметричной относительно оси Оу
и отсекающей на биссектрисе I
и III координатных углов
хорду длиной
.
Решение.
Искомое уравнение параболы
,
уравнение биссектрисы
.
Таким образом, получаем точки пересечения
параболы с биссектрисой: О (0;0) и М
(2р;2р). Длина хорды определяется
как расстояние между двумя точками:
,
откуда
.
Следовательно, искомое уравнение имеет
вид
.