Задания для самостоятельного решения

1. На эллипсе найти точку, разность фокальных радиусов-векторов которой равна 6,4.

2. Найти длину перпендикуляра, восстановленного из фокуса эллипса к большой оси до пересечения с эллипсом .

3. Составить уравнение прямой, проходящий через левый фокус и нижнюю вершину эллипса .

4. Эллипс, отнесенный к осям, проходит через точку М (1;1) и имеет эксцентриситет . Составить уравнение эллипса.

5. Как расположены относительно эллипса точки М (7;1), N (1;1), P (1;1)?

6. Найти эксцентриситет эллипса, если фокальный отрезок виден из верхней вершины под углом .

7. На прямой найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины эллипса .

8. Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение, если известно, что точки F₁ (1;1) и F₂ (1;1) являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 2.

9. Составить уравнение множества точек, расстояния которых от точки А (0;1) в два раза меньше расстояния до прямой .

10. Концы отрезка АВ постоянной длины а скользят по сторонам прямого угла. Найти уравнение кривой, описываемой точкой М, делящей этот отрезок в отношении 1 : 2.

11. Найти общие точки эллипса и окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине.

12. На прямой найти точку, одинаково удаленную от «левого» фокуса и «верхней» вершины эллипса .

13. На эллипсе найти точку, радиусы-векторы которой перпендикулярны.

Указание. Искомые точки суть точки пересечения с эллипсом окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в начале координат.

14. Абсциссы точек окружности увеличены вдвое. Определить полученную кривую.

3. Гипербола

Гипербола – множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Если поместить фокусы гиперболы в точках и , то получится каноническое уравнение гиперболы

, (1)

где . Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки и называются вершинами гиперболы. Отрезок А₁А₂ такой, что А₁А₂ = 2а, называется действительной осью гиперболы, а отрезок В₁В₂ такой, что В₁В₂ = 2b, - мнимой осью (см. рисунок).

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки М(х;у) гиперболы от этой прямой стремится к нулю при или . Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .

Для построения асимптот гиперболы строят осевой прямоугольник гиперболы со сторонами x=a, x=-a, y=b, y=-b. Прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. На рисунке указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы-векторы правой ветки гиперболы: (правый фокальный радиус-вектор), (левый фокальный радиус-вектор).

Фокальные радиусы-векторы левой ветки гиперболы: (правый фокальный радиус-вектор), (левый фокальный радиус-вектор).

Если a=b, то уравнение гиперболы принимает вид

. (2)

Такая гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты образуют прямой угол. Если за оси координат принять асимптоты равнобочной гиперболы, то ее уравнение примет вид xy=m ( ; при m>0 гипербола расположена в I и III четвертях, при при m<0 - во II и IV четвертях). Так как уравнение xy=m можно переписать в виде , то равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональной зависимость между величинами х и у.

Уравнение

(или ) (3)

также называется уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси Оу длины 2b.

Две гиперболы и имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но действительная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называются сопряженными.

Построение гиперболы по ее осям.

На осях координат (см. рисунок) откладываем отрезки ОА₁ = ОА₂ = а и ОВ₁ = ОВ₂ = b (действительные и мнимые полуоси). Затем откладываем отрезки OF₁ и OF₂, равные АВ. Точки F₁ и F₂ – фокусы. На продолжении отрезка А₁А₂ за точку К. Из точки F₁ радиусом r₁ = A₁К описываем окружность. Из точки F₂ описываем окружность радиусом r₂ = A₂K =2а = r. Эти окружности пересекутся в двух точках М₁, М₂, причем по построению F₂М₁ - F₁М₁ = 2а и F₂М₂ - FМ₂ = 2а. Согласно определению точки М₁ и М₂ леж ат на гиперболе. Меняя r, получим новые точки «правой» ветви. Аналогично строятся точки «левой» ветви.

Пример 1. На правой ветви гиперболы найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше ее расстояния от левого фокуса.

Решение.

Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы-векторы определяются по формулам и . Следовательно, имеем уравнение , откуда ; здесь а=4, , т.е. х=9,6.

Ординату находим из уравнения гиперболы: .

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки: и .

Пример 2. Даны точки А(-1;0) и В (2;0). Точка М движется так, что в треугольнике АМВ угол остается вдвое больше угла . Найти уравнение кривой, которую опишет точка М.

Взяв точку М с координатами х и у, выразим и через координаты точек А, В и М: , .

Согласно условию, получаем уравнение , т.е. . Подставив в это равенство найденные для и выражения, приходим к уравнению ;

После сокращения на у (у≠0) и упрощения получаем . Искомая кривая – гипербола.

Пример 3. Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку .

Решение.

Согласно определению эксцентриситета, имеем , или . Но ; следовательно, , или , т.е. гипербола равнобочная.

Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе, т.е. , или . Поскольку , получим , т.е. .

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид .