Задания для самостоятельного решения

1. Определить координаты центров и радиусы окружностей:

а) ;

б) ;

в) .

2. Найти угол между радиусами окружности , проведенными в точки ее пересечения с осью Оу.

3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (1;2), В (0;-1) и С (-3;0).

4. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (7;7) и В (-2;4), если ее центр лежит на прямой .

5. Составить уравнение общей хорды окружностей и .

6. Написать уравнение окружности с центром С (-4;3) и радиусом R =5 и построить ее. Лежат ли на этой окружности точки А (-1;-1), В (3;2) и О (0;0).

7. Дана точка А (-4;6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок ОА.

8. Построить окружности:

а) ;

б) ;

в) .

9. Построить окружность , прямую и найти точки их пересечения.

10. Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения окружности с прямой и через точку А (4;4).

11. Написать уравнения касательных к окружности , проведенных из начала координат.

12. Даны точки А (-3;0) и В (3;6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок АВ.

13. Показать, что точка А (3;0) лежит внутри окружности , написать уравнение хорды, делящейся в точке А пополам.

14. Составить уравнения касательных к окружности , проведенных в точках пересечения окружности с прямой .

15. Дана окружность . Из точки А (-2;0) проведена хорда АВ, которая продолжена на расстояние . Найти множество точек М.

2. Эллипс

Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рисунке, а фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках и , то получится простейшее (каноническое) уравнение эллипса:

. (1)

Здесь а – большая, b – малая полуось эллипса, причем a, b и c (с – половина расстояния между фокусами) связаны соотношением .

Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом (отношение фокусного расстояния к большой оси), обозначается - ., (так как c<a, то  <1).

Эксцентриситет и коэффициент сжатия эллипса связаны соотношением .

Расстояния некоторой точки эллипса М от его фокусов называется фокальными радиусами-векторами этой точки. Их обычно обозначают и (в силу определения эллипса для любой его точки ).

В частном случае, когда a=b (c=0, =0, фокусы сливаются в одной точке – центре), эллипс превращается в окружность (с уравнением ).

Взаимное расположение точки и эллипса определяется условиями: если , то точка М лежит на эллипсе; если , то точка М лежит вне эллипса; если , то точка М лежит внутри эллипса.

Фокальные радиусы-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам (правый фокальный радиус-вектор) и (левый фокальный радиус-вектор).

Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и .

Решение.

Пусть - искомое уравнение эллипса. Этому уравнению должны удовлетворять координаты данных точек. Следовательно, , .

Отсюда находим , . Итак, уравнение эллипса имеет вид .

Пример 2. Пусть фокусное расстояние эллипса 2с=8 (см), а сумма расстояний произвольной его точки до фокусов составляет 10 (см). Составить каноническое уравнение эллипса.

Решение.

Большая ось 2а=10 (см), эксцентриситет =0,8. Коэффициент сжатия . Малая ось (см). Каноническое уравнение эллипса есть .