![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математика Специальность «Информатика» список литературы
- •Содержание курса
- •Тема I -множества План лекции
- •Конспект лекции.
- •Тема II – векторы. План лекции
- •Конспект лекции.
- •Тема III –аналитическая геометрия на плоскости.
- •Тема IV –аналитическая геометрия в пространстве.
- •План лекции
- •Тема V –комплексные числа.
- •План лекции
- •Тема VI –матрицы
- •План лекции
- •Тема VII–квадратичные формы.
- •План лекции
- •Тема VIII–системы «n» уравнений с «n» неизвестными.
- •План лекции
- •Тема IX–пределы последовательностей и функций одной переменной.
- •План лекции
- •Тема X–основы дифференциального исчисления функции одной переменной.
- •План лекции
- •Тема XI. Неопределенный и определенный интегралы функции одной переменной.
- •(С) если то
- •Тема 12. Производная и дифференциал функции двух переменных. Лекция План лекции
- •Тема 13. Числовые ряды .
- •План лекции
- •Тема 14. Дифференциальые уравнения.
- •План лекции
- •Тема 15. Вероятность случайных событий.
- •Тема 16. Дискратные случайные величины.
- •План лекции
- •Тема 17. Законы распределения случайных величин.
- •План лекции
- •Тема 18. Основные понятия матемаической статистики.
- •План лекции
Тема IX–пределы последовательностей и функций одной переменной.
Лекция
План лекции
1.Понятие функции.
2.Числовая последовательность, ее предел.
3.Предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
4.Основные свойства пределов функций.
5.Первый и второй замечательные пределы.
6.Понятие непрерывности функции одной переменной.
1.
Пусть
,
функция
- это
соответствие,
которое каждому значению
ставит одно
и только одно значение
.
Числовая
функция -
это функция, заданная на основе
соответствия между числовыми множествами
X,Y
: y=f(x),
х –
независимая
переменная,
аргумент;
- символ
(знак) закона соответствия; y=f(x)
– значение
функции f
на заданном значении аргумента «х.
Способ
задания функции с помощью формулы
называется
аналитическим.
Множество
,
для элементов которого существуют
соответствующие значения
,
называется областью определения функции
y=f(x).
Например, для функции
областью определения (часто обозначается
Х)
является промежуток [-1;1]. Множество
значений
функции y=f(x)
–это множество всех тех чисел
,
каждое из которых по закону «f»
соответствует некоторому числу
При невозможности аналитического
задания функции ее можно задать
графически:
график функции
y=f(x)
– это множество точек координатной
плоскости вида
.
При графическом способе задания в
таблице для каждого значения аргумента
«х»
указывается соответствующее значение
функции y=f(x)
(таблицами
задаются тригонометрические функции,
логарифмические). Функция строго
возрастающая (возрастающая),
если для любых
таких, что
,
выполняется
.
Функция строго
убывающая (убывающая),
если для любых
таких, что
,
выполняется
(
).
Строго возрастающие, возрастающие,
строго убывающие и убывающие функции
- это монотонные
функции.
Ограниченная
функция –
это функция f(x),
,
для которой существует число М
,
что для
любого
всегда
(1).
В противном случае функция неограниченная.
Геометрически условие (1) означает:
график ограниченной функции размещается
на координатной плоскости в полосе,
ограниченной прямыми y=M
и y=
-M
или
(2),
например y=sinx,(
),
функция y=5x
– неограниченная
функция, её значения расположены в
промежутке
.
Четная функция
–это функция
y=f(x),
такая
, что для
любого
выполняется
f(-x)=f(x)(3)
(
-
функции четные). Нечетная
функция –это функция
y=f(x),
такая, что для любого
выполняется f(-x)=-f(х)(4)
(
- нечетные функции). График четной функции
симметричен относительно оси
ординат,
график нечетной функции симметричен
относительно начала
координат.
Из определения функции: закон «f»
любому
элементу
ставит в соответствие единственный
элемент
.Зададим
условие: различным элементам
ставятся в соответствие различные
элементы
из множества В.
Тогда можно построить функцию, которая
любому элементу y
В
ставит в соответствие единственный
элемент
х
А,
такой, что f(x)=y.
Это - функция, обратная данной функции
«f»:
;
для функции
множество определения Х
и множество значений Y
меняются
местами. Например, для y=sinx,
заданной на отрезке
(область определения Х),
с множеством значений
,
существует обратная функция y=arcsinx
с областью определения
и множеством значений
.
Если независимая переменная «х»
в функциональной зависимости
y=f(x)(
)
зависит, в
свою очередь, от новой переменной «t»
(
),
то функция
является функцией от «t»,
это - сложная
функция.
2.Функция
с областью определения
(множеством
натуральных чисел) - это числовая
последовательность
:
(5)
или
,
где
- член последовательности, «n»
- номер члена
последовательности
.
Число
- первый член
последовательности,
- второй член,
….
- n–ый
или общий
член последовательности. Последовательность
задается функцией, порождающей эту
последовательность:
,
формула позволяет вычислить любой член
последовательности. Например, (а)
- последовательность нечетных чисел
(арифметическая прогрессия), формула
для общего члена: (2n-1);
б)
-
(геометрическая прогрессия), общий член
.
Монотонность последовательностей
истолковывается с точки зрания понятия
функции (см. выше).
Последовательность
(с)
представляется в виде
,
при возрастании «n»
член
приближается к числу 3 (начиная с тысячного
номера член
отличается
от числа 3 меньше, чем на одну тысячную):
число 3 является пределом последовательности
(с):
Предел
последовательности
-
это число «а»
такое,
что если для любого заданного числа
найдется такое натуральное N,
зависящее от «
»
(
),
что для любого номера n>N
выполняется
неравенство
:
(6).
Для произвольного числа
неравенство
равносильно неравенству
.
Последовательность, имеющая предел,
называется сходящейся,
не имеющая предела – расходящейся.
Если выполняется равенство (6), то
последовательность сходится к числу
«а».
Если
последовательность имеет предел, то
она ограничена. Например для
имеем
,
последовательность ограничена. Всякая
ограниченная монотонная последовательность
имеет только один предел. Последовательность
при
имеет предел «е»:
(7). Число «е»
иррационально и с точностью до
равно 2,718281828, «е»
приняли за основание системы натуральных
логарифмов, с помощью которых многие
формулы для вычислений записываются
значительно проще. Для отыскания
приближенных значений натуральных
логарифмов по таблицам десятичных
логарифмов используется формула
перехода:
.
Бесконечно
малая последовательность
имеет пределом число нуль:
(6).
Свойства
:[1]. Всякая
сходящаяся последовательность имеет
только один предел. [2]. Сумма двух
бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малая последовательность.[3].
Произведение бесконечно малой
последовательности на ограниченную
последовательность есть бесконечно
малая последовательность.[4]. Для того,
чтобы число «а»
было пределом последовательности
необходимо
и достаточно, чтобы число
было представлено в виде суммы
(7),
где
- бесконечно малая последовательность.[5].
Для сходящихся : последовательностей
и
:
(8),
(9),
если
,
то
(10).[6].
(11).
3.
Предел
функции
y=f(x)
в точке х=а
– это такое
число А,
что для любой последовательности
допустимых значений аргумента
,
сходящейся к «а»,
последовательность соответствующих
значений функции
сходится к числу А.
Иначе говоря, если
,
то
;
или если
то
:
(12).
Функция может либо иметь, либо не иметь
предела. Например, если для некоторой
последовательности значений аргумента
,
сходящейся к точке «а»,
последовательность соответствующих
значений функции
предела не имеет, то функция f(x)
не имеет предела в точке х=а.
Аналогично, функция f(x)
не имеет предела в точке х=а,
если для двух различных последовательностей
значений аргумента, сходящихся к «а»,
последовательности соответствующих
значений функции имеют разные пределы
(при нахождении предела функции в точке
не рассматривают значения функции в
самой этой точке). Кроме конечного
предела функции f(x)
при
существует понятие бесконечного предела.
Например, функция
,
определенная для всех
,
принимает сколь угодно большие значения
при «х»,
неограниченно
близко приближающемся к нулю. В этом
случае говорят, что функция в точке х=0
имеет
бесконечный предел:
.
Бесконечно
большая функция
при
-это
функция y=f(x)
такая, что
(13).
Бесконечно
малая функция
при
- это такая функция y=f(x),
что
(14).
4.
Свойства:
[1]. Функция не может иметь двух различных
пределов в данной точке.[2]. Если
то
.[3].Если
,то
.[4].
Для функций f(x),g(x),
имеющих пределы:
)
(15);
(16).
Если
,то
(17).
[5].
(18).
[6].
(19).
[7]. Если
и в некоторой окрестности точки «а»,
(кроме, может
быть самой точки «а»),
выполняются неравенства
,
то
( [7] называют свойством предела
промежуточной функции). Например,
вычислим пределы: (а)
;
(b)
(предел
знаменателя равен нулю, вычислить предел
частного нельзя) =
;
[8].Для того, чтобы число «А»
было пределом функции f(x)
при
необходимо
и достаточно, чтобы функция была
представлена в виде суммы
(10),
где
(
бесконечно
малая функция).
5. В вычислениях пределов функций используются замечательные пределы.
(а)
(20)
- предел существует и равен единице.
Неравенство
(а)
справедливо для
;
разделим все члены неравенства (а)
на |sinx|:
(b);
неравенство (b)
равносильно неравенству
(c);функции
y=cosx
и
- функции четные, поэтому
(d)
при
;
перейдя к пределу, имеем:
;
из неравенства
и свойства [8] имеем:
(20) - первый
замечательный предел.
Например,
(б).
(21) – предел (21) существует и равен числу
«е».
Теорему
можно доказать на основе свойств пределов
последовательностей.
(21)
- второй
замечательный предел.
Например,
(а)
;
6.Определение
непрерывной функции можно сформулировать,
во-первых, на основе понятий приращения
функции и аргумента. Для функции y=f(x)
определенной на интервале (a;b)
на оси ОХ
точке
можно дать некоторое приращение
,
тогда получим новую точку
;
разность
- это приращение аргумента, разность
,
разность
- приращение функции, соответствующее
приращению аргумента. (а) Непрерывная
функция в точке
- это функция y=f(x),
,
у которой бесконечно
малому приращению
аргумента
соответствует бесконечно
малое приращение
функции
:
(22).
Функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a,b],
если она непрерывна в каждой точке этого
отрезка . Например, функция
непрерывна в произвольной точке
области определения функции R:
если
приращение
,
т.е.
,
то приращение функции
;
вычисляем приращение функции:
:
если
,
то и
,
то есть функция
непрерывна, (22) является формализованной
записью непрерывной функции. (б) Во
вторых, функция y
=f(x)
непрерывна в точке
,
если предел функции в этой точке равен
значению функции в самой точке
:
если
существует и функция f(x)
непрерывна в точке
,
то
(для непрерывной функции f(x)
предел функции в предельной точке
равен значению этой функции в предельном
значении аргумента
).
Свойства:
[1]. Если
функции
непрерывны в точке
,
то их сумма, разность, произведение и
частное (при ненулевом значении
знаменателя) также непрерывны. [2]. Сложная
функция непрерывной функции также
непрерывна. [3]. Обратная функция от
непрерывной функции также непрерывна.
Все элементарные функции непрерывны
на своей области определения. Если
функция не является непрерывной, то
говорят, что она терпит разрыв в точке:
не непрерывна в точке х=0,
имеем разрыв в этой точке.