![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математика Специальность «Информатика» список литературы
- •Содержание курса
- •Тема I -множества План лекции
- •Конспект лекции.
- •Тема II – векторы. План лекции
- •Конспект лекции.
- •Тема III –аналитическая геометрия на плоскости.
- •Тема IV –аналитическая геометрия в пространстве.
- •План лекции
- •Тема V –комплексные числа.
- •План лекции
- •Тема VI –матрицы
- •План лекции
- •Тема VII–квадратичные формы.
- •План лекции
- •Тема VIII–системы «n» уравнений с «n» неизвестными.
- •План лекции
- •Тема IX–пределы последовательностей и функций одной переменной.
- •План лекции
- •Тема X–основы дифференциального исчисления функции одной переменной.
- •План лекции
- •Тема XI. Неопределенный и определенный интегралы функции одной переменной.
- •(С) если то
- •Тема 12. Производная и дифференциал функции двух переменных. Лекция План лекции
- •Тема 13. Числовые ряды .
- •План лекции
- •Тема 14. Дифференциальые уравнения.
- •План лекции
- •Тема 15. Вероятность случайных событий.
- •Тема 16. Дискратные случайные величины.
- •План лекции
- •Тема 17. Законы распределения случайных величин.
- •План лекции
- •Тема 18. Основные понятия матемаической статистики.
- •План лекции
Тема 12. Производная и дифференциал функции двух переменных. Лекция План лекции
1.Понятие функции нескольких переменных (двух, трех).
2.Предел и непрерывность функции двух переменных.
3.Частные производные функции двух переменных.
4.Полный дифференциал функции двух переменных.
5.Дифференциал высшего порядка функции двух переменных.
6.Дифференцирование сложной функции двух переменных.
7.Дифференцирование неявной функции.
1.Если
x,y
– стороны прямоугольника, то его площадь
S=xy
зависит от двух переменных x,y
(S-функция
двух переменных); если x,y,z
- стороны прямоугольного параллелепипеда,
то его объем V=xyz
зависит уже от трех переменных x,y,z(V-
функция трех переменных). Существует
зависимость переменной и от большего
числа независимых переменных. Если G
– некоторое множеcтво
точек (пусть - это множество точек
плоскости XOY)
, то произвольной точке M(x,y)
G
можно
поставить
в соответствие единственное число
f(M)=u
говорят:
на множестве G
задана
функция с множеством значений U
u=f(x,y).
Множество
G
- это область
определения функции, множество
U
(чисел вида
f(x,y),
)
- это множество
значений функции
u=f(x;y).
Область определения G
функции
u=f(x,y)
в простейших случаях представляет собой
или часть плоскости, ограниченную
замкнутой кривой (точки кривой (границы
области) либо принадлежат, либо не
принадлежат области G);
или совокупность нескольких частей
плоскости. Геометрическим изображением
множества значений U
функции u=f(x,y)
(множества точек пространства с
координатами (x,y,z))
в прямоугольной системе координат
(графиком функции) является некоторая
поверхность. Существуют функции большего
числа переменных: u=f(x,y,z,…t).
Функции нескольких переменных задаются
формулами. Множество точек M(x,y),
для которых
имеет смысл формула, называется
естественной областью определения.
Например,
- это круг с центром в начале координат
и радиусом, равным единице. Линия уровня
функции u=f(x,y)
- это линия f(x,y)=С
на плоскости
XOY
, в точках которой функция сохраняет
постоянное значение: u=С
. Например, для функции
уравнение семейства линий уровня имеет
вид
.
При различных действительных значениях
С
получаем концентрические окружности
с центром в начале координат. Поверхность
уровня функции u=f(x,y,z)-это
поверхность f(x,y,z)=С
, в точках которой функция сохраняет
постоянное значение: u=С.
Например, для функции
уравнение
семейства поверхностей уровня имеет
вид
при С=0
–это конус, при С>0 –это семейство
гиперболоидов, при С<0 – семейство
двуполостных гиперболоидов.
2.Окрестностью
точки
называется любой открытый (без включения
границ) круг с центром в точке
и радиусом R.
Если
,
имеем
-
окрестность точки
или
множество всех точек
с координатами
,
.
Пределом функции f(M)
при
называется число А
такое, что
для любой последовательности точек
такой,
что
,
выполняется равенство
:
(1).
Все теоремы функции одной переменной
справедливы. Функция f(M)=f(x,y)
называется непрерывной в точке М,
если выполняется:
или
(2).
Если функция непрерывна в каждой точке
области G,
то она непрерывна во всей области G.
3.Пусть
функция u=f(x,y)
определена в некоторой окрестности
точки
.
Положим
,
тогда функция
- это функция одной переменной «х».
Производная функции
по
переменной «х»
в точке
- это частная
производная по «х»
от
в точке
:
или
,
(3).
Частная производная по переменной y:
(4).
Иначе говоря,
-
это производная функции f(x;y)
при
-
константе,
-
это производная функции f(x;y)
при
-
константе. Например, для функции
Частные
производные также являются функциями
двух переменных, существуют вторые
частные производные:
(5),
(если
первые производные непрерывны, то вторые
производные по разным переменным
(смешанные производные) равны между
собой:
(6). Например, для функции
Геометрически
– первые частные производные функции
u=f(x,y)
– это угловые коэффициенты касательных
к линиям пересечения поверхности
u=f(x,y)
с плоскостями, параллельными координатным
плоскостям ZOY;XOX
и проходящим
соответственно через точку
4.Для
функции u=f(x,y)
дадим координатам точки M(x;y)
(аргументам) соответствующие приращения
Приращение функции u=f(x,y),
соответствующее этим приращениям:
.
Функция
u=f(x,y)
дифференцируема
в точке M(x;y),
если ее
приращение в данной точке можно
представить в виде:
(7).
А,В
– это некоторые числа, не зависящие от
,
-
бесконечно малые функции при
;
поэтому в (7) вторые слагаемые – бесконечно
– малые величины . Выражение
(8)
– это главная линейная часть приращения
функции u=f(x,y).
Дифференциал
функции двух
переменных – это главная
линейная часть ее приращения :
.
Для дифференцируемой функции u=f(x,y)
точке M(x;y)функция
u=f(x,y)
имеет частные производные по переменным
x;y
и
.
Полный дифференциал функции u=f(x,y)
:
или
.
Положим
:
(9) – полный дифференциал функции двух
переменных. Например, для функции
u=cos(2x-3y):
Из
(5) для функции
:
(а).
Обозначим
,
тогда
(10)
- это полный
дифференциал
некоторой функции U.
Обратная задача: когда выражение
(11) становится полным
дифференциалом
некоторой функции? Условие: для того,
чтобы (11) было полным дифференциалом
некоторой функции U=U
(x;y),
необходимо и достаточно:
(12) . Из (а)
:
,
выполняется (12).
Свойства:
[1].
,
[2].
,
[3].
,
[4].
.
Например,
.
5.Дифференциал
второго порядка функции двух переменных
– это дифференциал
от полного дифференциала :
или
.
Например, для функции
:
,
.
Далее можно найти дифференциал третьего
порядка и т. д.
6. Если
функции
непрерывные, дифференцируемые, то
- это функция одной переменной «t»
, тоже дифференцируема и имеет производную
по переменной «t».
Для вычисления
дадим переменной «t»
приращение
,
тогда и переменные x,y,z
получат
приращения
:
(см. выше). Разделим все члены равенства
на
;
при
:
,
(так как все рассматриваемые функции
непрерывны). Перейдя к пределу, получим:
или
- формула дифференцирования
сложной функции.
Например, найти
,
если
:
=
,
выразим x;y
через
переменную «t»:
.
7. Функция F(x;y)=0
(13) неявная,
если уравнение (13) нельзя разрешить
относительно переменной ‘y’,
например,
- неявная функция. Считая «y»
функцией от «x»,
дифференцируем (13) по формуле производной
сложной функции:
- формула дифференцирования неявной
функции. Например,
.