![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математика Специальность «Информатика» список литературы
- •Содержание курса
- •Тема I -множества План лекции
- •Конспект лекции.
- •Тема II – векторы. План лекции
- •Конспект лекции.
- •Тема III –аналитическая геометрия на плоскости.
- •Тема IV –аналитическая геометрия в пространстве.
- •План лекции
- •Тема V –комплексные числа.
- •План лекции
- •Тема VI –матрицы
- •План лекции
- •Тема VII–квадратичные формы.
- •План лекции
- •Тема VIII–системы «n» уравнений с «n» неизвестными.
- •План лекции
- •Тема IX–пределы последовательностей и функций одной переменной.
- •План лекции
- •Тема X–основы дифференциального исчисления функции одной переменной.
- •План лекции
- •Тема XI. Неопределенный и определенный интегралы функции одной переменной.
- •(С) если то
- •Тема 12. Производная и дифференциал функции двух переменных. Лекция План лекции
- •Тема 13. Числовые ряды .
- •План лекции
- •Тема 14. Дифференциальые уравнения.
- •План лекции
- •Тема 15. Вероятность случайных событий.
- •Тема 16. Дискратные случайные величины.
- •План лекции
- •Тема 17. Законы распределения случайных величин.
- •План лекции
- •Тема 18. Основные понятия матемаической статистики.
- •План лекции
(С) если то
Если
подинтегральное выражение является
функцией только
от sinx;cosx,
тогда
Например, в интеграле
положим
и по приведенным формулам имеем:
.
Если функции y=sinx и y=cosx входят в выражение подинтегральной функции только в четных степенях, то используется подстановка t=tgx:
а)
b)
c)
Тогда
Например, в интеграле
обозначим tgx=t,
тогда
и
Если
в интеграле
хотя бы одно из чисел m
или n
нечетное,
то используют подстановку sinx=t
или cosx=t.
Например, в интеграле
обозначим cosx=t;
тогда dt=-sinxdx,
и
При
вычислении интегралов вида
используют тригонометрические формулы:d)
e)
f)
Например,
=
Замечание.
Не у всякой элементарной функции
первообразная функция также является
элементарной. В случае, если первообразная
некоторой элементарной функции f(x)
тоже является элементарной функцией,
говорят, что интеграл
вычисляется в элементарных функциях,
или «берется». Если же интеграл не
выражается в элементарных функциях, то
говорят, что этот интеграл не «берется».
К таким «неберущимся»
интегралам относятся, например, интегралы
вида
и другие. У этих подинтегральных функций
первообразные существуют, но они не
выражаются в элементарных функциях.
6.
Если функция
,
,
тогда плоская фигура, ограниченная
графиком функции y=f(x),
осью ОХ
и прямыми х=а,
х=b
– это криволинейная трапеция aABb,
(см.рис.1).
Для вычисления площади трапеции aABb
разобьем основание трапеции [a,b]
на «n»
частичных промежутков точками
.
Рис.1
Длины
промежутков
в общем случае различны, обозначим
наибольшую из длин
через
«m»:
.
На каждом промежутке
выберем произвольную точку
Произведение
является числом, равным площади
прямоугольника, построенного на основании
с высотой
,
а сумма площадей прямоугольников (
)
приближенно
выражает
площадь
криволинейной трапеции aABb.
Если разбивать
отрезок [a;b]
на «n»
отрезков произвольной длины так, что
наибольшая из длин отрезков стремится
к нулю при
,
то построенная сумма точнее будет
выражать площадь криволинейной трапеции.
Тогда за площадь криволинейной трапеции
можно принять предел, к которому стремится
сумма площадей построенных прямоугольников:
(1).
Определенный
интеграл
от функции f(x)
на отрезке [a;b]
- это предел
,
если он существует, и не зависит от
способа разбиения отрезка [a;b]
на промежутки и выбора точек
:
(2).
Функция f(x)
- подинтегральная функциея, интегрируемая
на отрезке [a;b],
f(x)dx
- подинтегральное
выражение, числа «a»
и «b»
- пределы
интегрирования
(а
– нижний предел, b
– верхний предел ). Сумма
- это интегральная
сумма.
Необходимым условием интегрируемости
функции на отрезке является ограниченность
функции на отрезке. Если функция
непрерывна на промежутке [a;b],
то она интегрируема на нем.
7.Свойства:
[1]. По
определению полагают:
(3).[2].Для
любого действительного числа «р»:
.
[3].
(4).[4].
Если функция f(x)
интегрируема на [a;b],
то
(5), где
[5].
(6).[6]. Если функции f(x)
и g(x)
интегрируемы на [a;b]
и
,
то выполняется:
.[7].
Если на [a;b]
выполняется неравенство
(m
и M
–константы), то
.
(Справедливость [7] следует из [2] и [6]).
[8]. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a;b],
то существует точка
что
(7):
(7) при
означает:
площадь криволинейной трапеции аАBb
равна площади прямоугольника с основанием
[a;b]
и высотой, равной f(x).
8.
Непрерывная на промежутке [a;b]
функция f(x)
интегрируема на этом промежутке, в том
числе и на любом промежутке [a;x],
где
Функция
,
(8) - интеграл
с переменным верхним пределом
(в (8) переменная интегрирования обозначена
через «t»,
так как буквой «х»
обозначен верхний предел интеграла);
этот верхний предел интегрирования
является независимой переменной,
аргументом функции
.
Теорема.
Если
функция f(x)
непрерывна на промежутке [a;b],
то функция
имеет производную на промежутке [a;b]:
или
(9)
- производная
определенного интеграла с переменным
верхним пределом по этому пределу равна
значению подинтегральной функции для
этого предела, например,
9.Если
функция f(x)
непрерывна на отрезке [a;b]
и F(x)
– первообразная функция для f(x)
на [a;b],
то
(10),
(11)
; (10),(11) - это формулы
Ньютона-Лейбница,
они позволяют вычислять определенные
интегралы, если известна хотя бы одна
первообразная подинтегральной функции.
10. Для вычисления определенного интеграла применяются те же методы, что и для вычисления неопределенного интеграла:(а) по таблицам: например,
=
или
(б).
Замена
переменной:
особенностью вычисления определенного
интеграла методом замены переменной
является то, что при переходе к новой
переменной в интеграле обязательно
изменяются пределы интегрирования на
новые значения, соответствующие законам
изменения новой переменной. Например,
в интеграле
обозначим
t=2x,
dt=2dх,
Пределы у новой переменной интегрирования
будут иными: если х=0,
то t=0;
если
то
;
новый интеграл
(в).
Формула
интегрирования по частям
для вычисления определенного интеграла
трансформируется в формулу:
(12). Например, в интеграле
обозначим:
и
11.Определенный
интеграл вычисляется на промежутке
[a,b],
в результате получаем число, такие
интегралы называются «собственными».
На практике встречаются задачи, в которых
один или оба предела интегрирования
оказываются бесконечными. Если хотя бы
один из пределов интегрирования
бесконечный, то интеграл - «несобственный».
Если функция
f(x)
непрерывна на полуинтервале [a,+
),
то по определению полагают:
(13)
- несобственный
интеграл.
Если предел (13) существует, интеграл
сходится,
если предела не существует - интеграл
- расходится,
ему не приписывают значений. Геометрически
для функции
на полуинтервале
несобственный
интеграл (13) представляет собой площадь
фигуры, ограниченной сверху графиком
функции f(x),снизу
– осью ОХ,
слева отрезком прямой х=а,
справа – геометрическая фигура -
неограничена. На несобственные интегралы
вида распространяется ряд свойств
определенных интегралов. Если интеграл
(13) сходится и для его подинтегральной
функции существует первообразная
функция F(x),тогда
из формулы Ньютона – Лейбница имеем:
или
(14).
Обозначив
,
получим обобщенную формулу Ньютона –
Лейбница:
(15).
Несобственный интеграл вводится также
и на полуинтервале
:
(16)
и
.
Несобственный интеграл от f(x),
заданной на всей числовой оси, можно
вычислить на основании свойства [4]:
(17) . например,
интеграл сходится или
- интеграл расходится.