![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математика Специальность «Информатика» список литературы
- •Содержание курса
- •Тема I -множества План лекции
- •Конспект лекции.
- •Тема II – векторы. План лекции
- •Конспект лекции.
- •Тема III –аналитическая геометрия на плоскости.
- •Тема IV –аналитическая геометрия в пространстве.
- •План лекции
- •Тема V –комплексные числа.
- •План лекции
- •Тема VI –матрицы
- •План лекции
- •Тема VII–квадратичные формы.
- •План лекции
- •Тема VIII–системы «n» уравнений с «n» неизвестными.
- •План лекции
- •Тема IX–пределы последовательностей и функций одной переменной.
- •План лекции
- •Тема X–основы дифференциального исчисления функции одной переменной.
- •План лекции
- •Тема XI. Неопределенный и определенный интегралы функции одной переменной.
- •(С) если то
- •Тема 12. Производная и дифференциал функции двух переменных. Лекция План лекции
- •Тема 13. Числовые ряды .
- •План лекции
- •Тема 14. Дифференциальые уравнения.
- •План лекции
- •Тема 15. Вероятность случайных событий.
- •Тема 16. Дискратные случайные величины.
- •План лекции
- •Тема 17. Законы распределения случайных величин.
- •План лекции
- •Тема 18. Основные понятия матемаической статистики.
- •План лекции
Тема V –комплексные числа.
Лекция
План лекции
1.Понятие комплексного числа.
2.Комплексное число в алгебраической форме.
3.Операции сложения и вычитания.
4.Комплексное число в тригонометрической форме.
5.Операции умножения, деления, возведения в натуральную степень, извлечение корня натуральной степени из комплексного числа в тригонометрической форме.
6. Показательная форма комплексного числа.
1.Решение
уравнения
показывает, что в множестве R
уравнение решений не имеет. Возникает
задача расширения множества R
до такого множества, в котором это
уравнение имеет решение. Существование
взаимно однозначного соответствия
между парами действительных чисел (a,b)
и точками
плоскости привело к идее введения такого
расширения R,
чтобы в нем выполнялась операция
извлечения корня четной степени из
отрицательного числа. Элементами этого
нового множества считают пару чисел
(a,b),
,
они изображается точками плоскости с
их координатами. Пару таких чисел
называют комплексным числом. Начало
координат–число (0,0);
число, противоположное числу
- число
2.В построенном
числовом множестве вводятся алгебраические
операции. Сумма:
(1),произведение:
(2),
разность:
(3).
Частное
чисел
и
-
это число
такое, что
выполняется:
,
.
После
преобразований:
(4).
Числа
и
считаются
равными, если
(понятий
«больше» и «меньше» в построенном
множестве не существует). Множество
чисел вида (a,b)
c
операциями сложения, вычитания, умножения
и деления называется множеством
комплексных чисел К.
(a).Рассмотрим
связь множеств R
и K.
С одной стороны:
(5).
С другой
стороны
(6),
из (5) и (6): комплексное число (1,0) совпадает
с действительным числом «1». (b).Точки
вида
-
это точки
оси ОХ :
комплексное число
- это
действительное число «а».
(с) Из определений операций:
,
,
т.е. операции
с комплексными числами совпадают с
операциями с действительными числами.(d).
Оказывается, среди чисел К
содержится корень уравнения
,
иначе, существует такое число «m»,
что
:
,
при m=(0,1)
имеем
и число m=(0,1)
– это точка оси OY.
(е). Обозначим m=i:
,
,(f)
-
точка оси OY.
(g)Обозначив
комплексное число
(7)
(z=x+yi)
- комплексное
число z
в алгебраической форме.
3.Число «i»
- это мнимая единица, «yi»
- мнимая часть, «х» - действительная
часть числа «z».
Пусть
,
тогда сумма и разность вычисляются :
.
Произведение и частное комплексных
чисел проще вычислять в тригонометрической
форме комплексных чисел.
Число
называется обратным числу z.
Свойства:
[1].
.[2]
.[3].
Если
,
то либо
,
либо
.[4].
Если
,
то
.
Числа
- сопряженные,
и
являются взаимно сопряженными.
Действительное число х
сопряжено самому себе:
,
если y=
0, z=х
– действительное;
число,
сопряженное числу
,
если y=0
, то
.
Сумма двух сопряженных чисел:
.
4.Кроме алгебраической
формы, комплексное число можно представить
в тригонометрической форме. Каждую
точку плоскости M(x;y)
можно
отождествить с комплексным числом
.
С другой стороны, точка M(x;y)
характеризуется параметрами: (а) ее
проекциями на оси OX
и OY
(числами x
и y),(в)
расстоянием r=|OM|
точки
M(x;y)до
начала координат О
(0;0), (с) углом
между вектором
и осью ОХ.
Число r=|OM|=
(9)
- это модуль комплексного числа
:
.
Угол
- это аргумент числа
(
=арг
z,
- любые действительные значения), угол
отсчитывается против часовой стрелки,
если углы
и
отличаются друг от друга на
,
то соответствующие точки совпадают,
поэтому аргумент комплексного числа
принимает бесконечное множество
значений, отличающиеся друг от друга
на кратное число
.
Если два комплексных числа равны, то их
модули равны (
),
а аргументы отличаются на целое число,
кратное
.
Для числа z=0:
|z|=0,
угол
- не определен. Из геометрической
интерпретации комплексного числа:
,
тогда
(10).
Подставив эти выражения в алгебраическую
форму комплексного числа, получим:
или
(11)
- тригонометрическая
форма комплексного числа.
Введение аргумента и модуля комплексного
числа равносильно переходу от прямоугольной
декартовой системы координат к полярной
системе.
5.С комплексными числами в тригонометрической форме осуществляются операции умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем и извлечения корня любой степени с натуральным показателем.
Произведение чисел
и
:
=
(12).
Например:
Деление
=
(13)
Пусть
,
тогда
,
,
методом математической индукции
доказывается:
(14)
- формула Муавра.
Пусть надо
извлечь корень натуральной степени n
из комплексного числа
:
.
Обозначим
-
это такое комплексное число, для которого
выполняется:
,
откуда
,
с другой стороны
.
У равных комплексных чисел равны и
модули и аргументы, поэтому
и
;
равные аргументы могут отличаться друг
от друга на число, кратное
,
поэтому
.
(15),
где
- это формула для извлечения корня
степени n
из комплексного числа. Для к=0,1,2,…n-1
значения угла
различны, начиная с к=n
эти значения
начинают повторяться. Все значения
расположены на окружности радиуса
с началом в точке О(0;0). Например, для
корня
из числа
запишем формулу:
.
Вычислим значения
для различных значений «к»:
(1)
.
;
(2)
,
;
(3)
;
;
(4)
;
;
(5)
;
=
=
=
= - корни начинают повторяться .
6.Cуществует
показательная форма записи комплексного
числа. Считаем по определению
(*) , тогда если
,
то
- это комплексное число, записанное в
показательной форме. Для проверки
правомерности этого осуществим операции
умножения, деления, возведения в
натуральную степень комплексного числа
z
в
тригонометрической и показательной
формах и сравним результаты. Пусть числа
заданы в тригонометрической и в
показательной формах:
Умножение:
(а)
и
(в). Сравним (а) и (в): левые части равны,
следовательно равны и правые части:
=
,
или
=
(16),
формула (*) действительно задает
комплексное число. Для деления двух
комплексных чисел в показательной форме
имеем формулу
(17);
для возведения комплексного числа в
натуральную степень -
(18).