Тема IV –аналитическая геометрия в пространстве.

Лекция (3ч)

План лекции

1. Уравнение первой степени с тремя переменными.

2. Различные способы задания плоскости.

3. Взаимное расположение двух плоскостей.

4. Расположение плоскости относительно системы координат.

5.Угол между двумя плоскостями.

6.Способы задания прямой в пространстве.

7.Взаимное расположение прямых в пространстве.

8.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

1. Уравнение вида (1) определяет в пространстве множество всех точек пространства, удовлетворяющих уравнению (1) (некоторую поверхность). Частный случай поверхности - плоскость. Конкретная плоскость может быть задана различными видами уравнения (1).

2. Каждая плоскость в пространстве однозначно определяется точкой и вектором , перпендикулярным плоскости . Точка тогда и только тогда, если или : (2) - уравнение плоскости, заданной точкой и перпендикулярным вектором . Уравнение (2) приводится к виду (3) – общее уравнение плоскости. Например, плоскость, проходящая через точку М(-1;9;5), перпендикулярно вектору из (2) имеет вид: x-y+4z-10=0, проходящая через точку параллельно плоскости x+y+z=0, где имеет вид x-y+z-1=0. Если плоскость проходит через три точки , и , не лежащие на одной прямой, то текущая точка плоскости принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда три вектора компланарны: или - уравнение плоскости, заданной тремя точками. Если уравнение плоскости в общем виде записать можно преобразовать к виду (4)- уравнение плоскости в отрезках, где числа a,b,c –отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат. Если искомая плоскость проходит через заданную точку параллельно векторам , то произвольная точка плоскости принадлежит плоскости тогда и только тогда, если векторы компланарны: или (5) - уравнение плоскости, заданной точкой и направляющими векторами .

3. Общий вид уравнения плоскости: Ax+By+Cz+D=0 (1) - уравнение первой степени. Алгебраической поверхностью первого порядка является геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), где А,В,С не равны нулю одновременно, и обратно: всякая алгебраическая поверхность первого порядка есть плоскость. Плоскость Ax+By+Cz+D=0 параллельна вектору , если : Am+Bn+Cp=0 (7)–условие параллельности плоскости и вектора . Если плоскости и параллельны, то вектора и коллинеарны: ; в координатах: , , , и (8)- условие параллельности двух плоскостей; (9) - условие совпадения двух плоскостей.

4.Если плоскость (1) проходит через начало координат, то Ax+By+Cz=0. Если , то и , А=0 , поэтому . Если плоскость (1) проходит через ОХ, то А=0, D=0, если через OY,то B=0,D=0. Если плоскость (1) совпадает с координатной плоскостью XOY, то A=0, B=0,D=0 –плоскость XOY задается уравнением z=0.

Оси координат	Плоскость ( ) параллельна оси	Плоскость ( ) проходит через ось	Координатные плоскости	Плоскость ( ) параллельна координатной плоскости	Плоскость ( ) совпадает с координатной плоскостью

5.Угол между плоскостями и - это любой из двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями . Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям: : (10) . Если , то и , в координатах: или (11) - условие параллельности двух плоскостей (см. выше). Если , то , откуда (12) - условие перпендикулярности двух плоскостей (см. выше).

6. Если (1) и (2) - две плоскости и не параллельна ( не коллинеарен ), то система (3) определяет некоторую прямую, как линию пересечения двух плоскостей и . Для непараллельных плоскостей и коэффициенты при переменных x,y,z не пропорциональны, тогда г.м.т., координаты которых удовлетворяют системе (3), есть прямая линия l , параллельная вектору (4) - направляющий вектор прямой l . Линия пересечения двух плоскостей принадлежит каждой из плоскостей: (или и , для скалярного произведения (раскрыв определители, получим тождество 0=0), т.е. - действительно направляющий вектор прямой l.) Для точки и направляющего вектора прямой : или коллинеарен , , в координатах: или (5)- это параметрическое уравнение прямой в пространстве. С другой стороны, из : (6) - это каноническое уравнение прямой. Если прямая проходит через точки - текущая точка прямой, то векторы коллинеарны, , в координатах , откуда (7) – параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки.

7. Угол между двумя прямыми , заданными каноническими уравнениями ; (их направляющие векторы

и ), равен углу между этими векторами: (8). Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы : , или (9). Для совпадения двух прямых должны быть коллинеарны три вектора: , и , где Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось: или (10).

8. Аналитически же можно выразить условия взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она параллельна нормали к плоскости: . Для и : , в координатах: А=km; B=kn; C=kp или (11).