Проективна геометрія Варіанти контрольної роботи

Варіант 1.

1. Дано вісь і напрям споріднення. Визначити споріднення так, щоб трикутник A₁B₁C₁, який відповідає даному трикутнику ABC, мав при вершині C₁ кут в 45 ⁰.

2. еліпс задано парою спряжених діаметрів A₁B₁ і C₁D₁. Побудувати осі еліпса.

3. Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться у відношені 2:1. Довести.

4. Афінне перетворення площини задане формулами:

x₁ = 5x + 2y – 5

y₁ = 2y – 3y + 2

Знайти подвійні точки цього перетворення. Знайти образ трикутника ABC, якщо A(1;1), B(2;–1), C(5;0) – його вершини. Вибрати афінну систему координат і побудувати трикутник ABC та його образ у заданому перетворенні.

5. На евклідовій прямій задано три точки – A(5), B(2), C(–3). Знайти на цій прямій таку точку D, щоб (ABCD) = –2.

6. Дано дві паралельні прямі a і b і точка C, яка їм не належить. Користуючись тільки однією лінійкою, через точку С провести пряму, паралельну прямим a і b.

7. Проективну відповідність двох прямолінійних рядів q₁ і q₂ задано трьома парами відповідних точок: A₁ і А₂ , В₁ і В₂, С₁ і С₂. Для довільної точки М₁ ряду q₁ побудувати відповідну їй точку М₂ ряду q₂.

8. Криву другого порядку задано за допомогою п’яти точок: A, B, C, D і E. Побудувати дотичні в точках A і B, приймаючи ці точки за центри утворюючих цю криву пучків.

9. Дано центр S, вісь q і пару взаємно відповідних точок A₁ і A₂. Для точки B₁, яка лежить на прямій A₁A₂, побудувати відповідну їй точку B₂.

10. Дано еліпс і точку поза ним. Користуючись тільки лінійкою, провести дотичні до еліпса із заданої точки.

Варіант 2.

1. Дано вісь споріднення і паралелограм ABCD. Встановити споріднення так, щоб спорідненою фігурою для даного паралелограма був прямокутник з кутом 30 ⁰ між діагоналями.

2. Еліпс задано віссю AB і точкою M. Вибрати на цьому еліпсі довільну точку N, яка відмінна від заданих точок A, B, M, і провести через неї дотичну до еліпса.

3. Нехай ABCD – довільна трапеція з паралельними сторонами BC і AD, а p – паралельна до AD пряма, яка перетинає діагоналі трапеції AC і BD відповідно в точках M₁ та N₁. Якщо M₁ – точка перетину DM і BC, а N₁ – точка перетину AN і BC, то CM₁ = BN₁. Довести.

4. Афінне перетворення площини задане формулами:

x₁ = x – 3y +7

y₁ = x +5y – 1

Знайти подвійну пряму цього перетворення.

5. Точки A, B, C і D розташовані на прямій на однаковій віддалі між ними. Знайти всі значення, які може приймати складне відношення цих чотирьох точок.

6. У евклідовій площині протилежні вершини одного паралелограма лежать відповідно на протилежних сторонах (або їх продовженнях) другого. Довести, що ці паралелограми мають спільний центр.

7. Проективну відповідність двох пучків S і S₂ задано трьома парами відповідних прямих: a₁ і a₂, b₁ і b₂, c₁ і c₂. Для довільної прямої m₁ пучка S₁ побудувати відповідну їй пряму m₂ пучка S₂.

8. Дано п’ять точок A, B, C, D і E кривої другого порядку. Побудувати декілька точок цієї кривої використовуючи теорему Паскаля.

9. Дано центр гомології S і дві пари взаємно відповідних прямих: a₁ і a₂, b₁ і b₂. Для даної точки М₁ плоского поля ₁ побудувати відповідну точку М₂ плоского поля ₂.

10. Дано чотири точки перетину двох прямих, які проходять через точку Р, з кривою другого порядку. Інші точки кривої другого порядку невідомі. Побудувати поляру точки Р відносно цієї кривої.

Варіант 3.

1. Дано вісь споріднення і трикутник АВС. Встановити споріднення так, щоб відповідний трикутник А₁В₁С₁ був прямокутним, а його висота, опущена на гіпотенузу, була споріднена з відповідною висотою трикутника АВС.

2. Еліпс задано осями АВ і CD. Через дану точку М провести дотичні прямі до цього еліпса.

3. Довести, що з медіан довільного трикутника можна побудувати трикутник, сторони якого паралельні медіанам даного.

4. Написати формули афінного перетворення площини, яке задано парами відповідних точок: А₁(0:1) і А₂(1:0), В₁(1:0) і В₂(0:1), С₁(1:1) і С₂(1:1). Знайти подвійні точки цього перетворення.

5. На евклідовій прямій дано чотири точки: А(2), В(5), С(3). Знайти на прямій точку D за умовою: (ABCD) = 3.

6. Користуючись теоремою Дезарга довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.

7. Проективну відповідність двох пучків S₁ і S₂ задано трьома парами відповідних прямих: а₁ і а₂, b₁ і b₂, с₁ і с₂. Побудувати пряму s₂ пучка S₂, яка відповідає спільній прямій s₁ цих пучків, яку віднесено до пучка S₁.

8. Дано чотири точки A, B, C і D кривої другого порядку і дотична в точці А. Побудувати дотичну в точці В.

9. Знайти в декартових координатах формули колінеарного перетворення площини ₁ і ₂, якщо це перетворення визначається чотирма парами відповідних точок: А₁(0;1) і А₂(0;1), В₁(0;–1) і В₂(0;–1), С₁(1;0) і С₂(4;0), D₁ (2;0) і D₂ (3;0).

10. З точок А і В проведені дві пари дотичних до кривої другого порядку. Побудувати полюс прямої АВ (криву не задано).

Варіант 4.

1. Дано вісь, напрям споріднення і трикутник АВС. Встановити споріднення так, щоб одна з висот відповідного трикутника мала прообразом висоту даного трикутника.

2. Дано еліпс. Побудувати його осі. Вписати в еліпс квадрат.

3. Якщо у чотирикутнику ABCD сторони АВ і CD не паралельни, пряма, яка сполучає середини протилежних сторін AD і CB, проходить через точку О перетину діагоналей, то даний чотирикутник утворює трапецію з основами AD і CB. Довести.

4. Знайти головні напрями і подвійну точку перетворення, яке переводить точки А₁(1;3), В₁(5;–1), С₁(–1;–3) відповідно у точки А₂(5;–9), В₂(25;19), С₂(–5;9) (координати декартові прямокутні).

5. На прямій задано три точки А(0), В(1), С(–2). Знайти четверту точку D, якщо (ABCD) = –3.

6. На прямій а задано відрізок АВ і його середина. Користуючись лише лінійкою, через задану точку М провести пряму, яка паралельна до заданої прямої а.

7. Проективну відповідність двох рядів q₁ і q₂ задано трьома парами відповідних точок А₁ і А₂, В₁ і В₂, С₁ і С₂. Побудувати точку ряду q₂, яка відповідає невласній точці ряду q₁.

8. Криву другого порядку задано трьома точками і дотичними прямими в двох з цих точок. Побудувати дотичну в третій точці.

9. Гомологію задано віссю q, центром S і парою відповідних точок А₁ і А₂. Побудувати точку М₂ відповідну невласній точці М₁ прямої А₁А₂.

10. Дано коло і точка поза ним. За допомогою тільки однієї лінійки з даної точки провести дотичну до кола.

Варіант 5.

1. Дано вісь споріднення і трикутник А₁В₁С₁. Встановити споріднення так, щоб бісектриса кута А₁ була спорідненою з бісектрисою кута А₂ спорідненого трикутника А₂В₂С₂, а кут при вершині А₂ дорівнював 60 ⁰.

2. Побудувати довільну кількість точок і осі еліпса, розглядаючи його як криву, афінно-відповідну до кола.

3. Довести, що у довільній трапеції точка перетину непаралельних сторін, точка перетину діагоналей і середини паралельних основ лежать на одній прямій.

4. Знайти афінне перетворення (в декартових координатах) яке перетворює прямі 8x – 3y – 1 = 0 і 4x + y –13 = 0 відповідно у прямі 2x – 5y – 2 = 0 і 6x – 5y –6 = 0, а точку А₁(2;1) у точку А₂(–3;–4).

5. Дано три точки прямої А(3), В(–1), С(–2). Знайти четверту гармонійну точку, обираючи за спряжену їй точку А, В або С.

6. Дано дві паралельні прямі і відрізок АВ на одній з них. Користуючись лише однією лінійкою, поділити відрізок АВ навпіл.

7. На двох прямих, що перетинаються, розташовані два проективні ряди точок q₁ і q₂. Нехай А₁ і А₂ – довільна пара відповідних точок цих рядів. Довести, що проектуванням з точки А₁ точок ряду q₂, а із точки А₂ точок ряду q₁, можна одержати два перспективні пучки прямих.

8. Криву другого порядку задано довільними п’ятьма точками A, B, C, D і Е. Побудувати дотичну до кривої в точці А.

9. Гомологію задано віссю q, центром S і парою відповідних точок. Побудувати для даної точки М₁ першого поля відповідну їй точку М₂ другого поля.

10. Накреслено криву другого порядку і в середині цієї кривої задано точку М. Провести через цю точку таку хорду, яка у цій точці буде поділятись на дві рівні частини.

Варіант 6.

1. Дано вісь споріднення і трикутник А₁В₁С₁. Встановити споріднення так, щоб висоти кутів А₁ і В₁ даного трикутника були споріднені з висотами кутів А₂ і В₂ спорідненого трикутника А₂В₂С₂.

2. Еліпс задано великою віссю і точкою. Побудувати малу вісь еліпса.

3. На сторонах АВ, ВС і СА трикутника АВС взято відповідно точки А₁, В₁ і С₁ так, що АС₁ = АВ/3, ВА₁ =ВС/3, СВ₁ = СА/3. Кожну з цих точок з’єднано з протилежною вершиною даного трикутника. Довести, що площа трикутника, утвореного прямими АА₁, ВВ₁ і СС₁ дорівнює сьомій частині площі трикутника АВС.

4. Пряма x + 2y – 1 = 0 є вісь споріднення, у якому точці А₁(1;1) відповідає точка А₂(5;3). Знайти формули, які визначають це споріднення.

5. Чотири прямі пучка задано рівняннями y = x/2, y = x, y = 3x, y = 2x. Знайти всі можливі складні відношення, які можуть утворювати ці чотири прямі.

6. В площині накреслено прямі a і b, які перетинаються за межами малюнка, і точка М, яка не належить цим прямим. Користуючись теоремою Дезарга, побудувати пряму, яка з’єднує точку М з точкою перетину прямих а і b.

7. Дано два перспективні пучки S₁ і S₂. Побудувати в цих пучках пари взаємно перпендикулярних відповідних прямих.

8. Дано криву другого порядку і на ній точку А. За допомогою однієї лінійки через дану точку А провести дотичну до цієї кривої.

9. Гомологію задано віссю q, центром S і парою взаємно відповідних точок А₁ і А₂. Побудувати точку М₁, яка відповідає невласній точці М₂ прямої А₁А₂.

10. Задана (накреслена) крива другого порядку і довільна пряма. Знайти полюс даної прямої відносно заданої кривої другого порядку.

Варіант 7

1. Дано вісь, напрям споріднення і відрізок А₁В₁. Встановити відповідність так, щоб відрізок А₂В₂, відповідний даному, мав вдвоє більшу довжину.

2. Дано вісь споріднення, пару відповідних точок А₁ і A₂ і деяке коло. До еліпса, який споріднений з даним колом, через точку Р₂, що лежить поза еліпсом, провести дотичні.

3. На сторонах паралелограма АВ, ВС, CD і DA взято відповідно точки А₁, B₁, C₁ і D₁ так, що АА₁ = АВ/3, ВВ₁ = DC/3, CC₁ = CD/3 і DD₁ = DA/3. Знайти відношення площі паралелограма, утвореного прямими АВ₁, ВС₁, CD₁ і DA₁ до площі даного паралелограма ABCD.

4. Знайти подвійну пряму афінного перетворення, яке задано формулами:

x₁ = 2x – 3y + 5,

y₁ = x – 2y + 1.

5. Знайти всі можливі значення складних відношень, які можуть утворювати чотири точки прямої А(0), В(2), С(4) і D(6).

6. В евклідовій площині дано трикутник і три паралелограма, для кожного з яких одна сторона трикутника є діагоналлю, а дві інші – суміжними сторонами. Довести, що інші діагоналі цих паралелограмів перетинаються в одній точці.

7. Проективну відповідність двох пучків прямих S₁ і S₂ задано трьома парами відповідних прямих. Побудувати пряму пучка S₁, яка відповідає спільній прямій цих пучків, відносячи її до пучка S₂.

8. Криву другого порядку задано чотирма точками А, В, С і D. Побудувати дотичну в точці D.

9. Гомологію задано віссю q, центром S і парою взаємно відповідних точок А₁ і А₂. Побудувати пару гомологічних точок на двох не гомологічних прямих а і b.

10. Дано дві пари дотичних з точок Р і Q до кривої другого порядку (саму криву не накреслено). Побудувати полюс прямої РQ.

Варіант 8.

1. Дано вісь, напрям споріднення і паралелограм АВСD. Встановити відповідність так, щоб чотирикутник, відповідний даному паралелограму, був ромбом.

2. Еліпс задано осями АВ і CD. Побудувати точки перетину цього еліпса з даною прямою m.

3. Нехай АВС – довільний трикутник, а М і N точки, які належать сторонам АВ і ВС так, що MN паралельно АС. Довести, що прямі МС і AN перетинаються на медіані ВВ₁ даного трикутника АВС.

4. Знайти подвійну пряму афінного перетворення, яке задано формулами:

x₁ = 4x – y + 5,

y₁ = x + 2y – 1.

5. Знайти всі можливі значення складних відношень, які можуть утворити осі прямокутної декартової системи координат з прямими y = 3x і y = x/2.

6. В евклідовій площині в чотирикутник вписана трапеція, основи якої паралельні діагоналі чотирикутника. Довести, що непаралельні сторони трапеції перетинаються на другій діагоналі чотирикутника.

7. Дано два перспективних пучки прямих S₁ і S₂. Побудувати в цих пучках пари взаємно відповідних прямих, які утворюють між собою кут в 60 ⁰. Дослідити задачу.

8. Дано чотири точки параболи, з яких одна – невласна. Побудувати дотичну в одній з даних точок.

9. Гомологію задано віссю q, центром S і парою взаємно відповідних точок А₁ і А₂, де А₂ – невласна точка площини. Побудувати точку В₂, відповідну точки В₁.

10. Провести дотичну до кривої другого порядку з даної точки, користуючись лише однією лінійкою.

Варіант 9.

1. Дано вісь споріднення і трикутник А₁В₁С₁. Встановити відповідність так, щоб висота, проведена з вершини С₂ спорідненого трикутника А₂В₂С₂ мала задану довжину d і була споріднена з висотою при вершині С₁ трикутника А₁В₁С₁.

2. Дано вісь споріднення, пару відповідних точок А₁ і А₂ і деяке коло. Побудувати осі еліпса, спорідненого з даним колом.

3. Побудувати паралелограм, сторони якого рівні і паралельні діагоналям деякого довільного паралелограма ABCD. Довести, що діагоналі побудованого паралелограма паралельні сторонам паралелограма ABCD і вдвічі більші за них.

4. Знайти подвійну пряму афінного перетворення, яке задане формулами:

x₁ = 4x + 8y – 11,

y₁ = 2x + 4y – 78.

5. Дано три точки А(–2), В(3) і С(2). Знайти четверту гармонічну точку D, спряжену відносно А, В або С.

6. На прямій а дано відрізок АВ і його середина в точці М. За допомогою однієї тільки лінійки через дану точку С провести пряму, паралельну даній прямій а.

7. Проективну відповідність двох рядів q₁ і q₂ задано трьома парами відповідних точок А₁ і А₂, В₁ і В₂, С₁ і С₂. Побудувати точки, які відповідають спільній точці цих рядів, відносячи її спочатку до q₁, а потім до q₂.

8. Базисний трикутник проективної системи координат відносно декартової прямокутної системи координат задається рівняннями: x + 3 = 0, y – 2 = 0, 2x – 3y + 6 = 0 і одиничною точкою Е(2;1). Знайти проективні координати точки М, декартові координати якої x = 4, y = 3.

9. Дано криву другого порядку і точку, яка не лежить на цій кривій. Побудувати поляру цієї точки.

10. Дано чотири дотичні до кривої другого порядку і точку дотику однієї з них. Побудувати декілька дотичних до цієї кривої.

Варіант 10.

1. Дано вісь споріднення і трикутник А₁В₁С₁. Встановити споріднення так, щоб центр маси спорідненого трикутника А₂В₂С₂ знаходився в данні точці М.

2. Дано еліпс і його діаметр АВ. Побудувати дотичні до еліпса, паралельні даному діаметру.

3. Нехай ABCD – трапеція з паралельними сторонами ВС і AD, у якої АВ  ВС і О – точка перетину її діагоналей. На діагоналі АС відкладено відрізок АМ, рівний ОС, а діагоналі DB – відрізок DN, рівний ОС. Якщо М₁ точка перетину ВМ і AD, а N₁ точка перетину CN і AD, то АМ₁ = DN₁. Довести.

4. Знайти подвійну пряму афінного перетворення, заданого формулами:

x₁ = 3x – y +4,

y₁ = 4x – 2y.

5. Обчислити всі значення складного відношення, які утворюють осі прямокутної декартової системи координат з прямими y = 2x і y = x/3.

6. Дано дві паралельні прямі а і b, і точка Р. Користуючись тільки лінійкою, через точку Р провести пряму, паралельну даним прямим.

7. Проективну відповідність двох рядів q₁ і q₂ задано трьома парами відповідних точок А₁ і А₂, В₁ і В₂, С₁ і С₂. Побудувати точку ряду q₁, яка відповідає невласній точці ряду q₂.

8. Дано п’ять дотичних до кривої другого порядку побудувати точку дотику однієї з них.

9. Дано криву другого порядку і точку Р. Через точку Р за допомогою однієї тільки лінійки провести дотичну до кривої

10. Гомологію задано центром S, парою взаємно відповідних точок А₁ і А₂ і невласною віссю q. Побудувати для даної точки М₁ відповідну їй точку М₂.