Проективная геометрия Вопросы для самоконтроля Основные понятия аффинной геометрии

Какое соответствие плоскостей называется взаимно однозначным соответствием? Какое соответствие плоскостей называется перспективно-аффинным или родственным? Какие точки при перспективно-аффинном соответствии называются неподвижными или двойными? Что такое ось и направление перспективно-аффинного соответствия? Что называется простым отношением трёх точек и как оно вычисляется? Какими свойствами обладают перспективно-аффинные соответствия? Какие инварианты перспективно-аффинного соответствия вы знаете? Как задаётся перспективно-аффинное преобразование плоскости?

Какое соответствие плоскостей называется общим аффинным соответствием? Приведите примеры аффинных соответствий. Какие инварианты аффинных соответствий вы знаете? Какие геометрические свойства фигур сохраняются при аффинных соответствиях и преобразованиях? Какие свойства многоугольников при аффинных преобразованиях сохраняются, и какие не сохраняются? Какие теоремы об аффинных соответствиях плоскостей вы знаете? Как можно представить аффинное соответствие плоскостей в виде композиции элементарных соответствий?

Какие пары направлений в двух аффинно-соответственных плоскостях называются главными направлениями? В чём состоит геометрический смысл главных направлений?

Какими свойствами обладает эллипс, как кривая аффинно-соответственная окружности? Как построить эллипс по паре его сопряжённых диаметров? Как построить касательную прямую к эллипсу в данной на нём точке?

Как задаются аффинные координаты на плоскости? Как задаётся аффинное соответствие плоскостей в аффинных координатах? Какой геометрический смысл коэффициентов, входящих в уравнения аффинных преобразований? Как найти неподвижные точки аффинного преобразования плоскости в себя (используя геометрический и координатный методы)?

Построение проективного пространства

и основные свойства проективной плоскости

В чём заключается метод центрального проектирования, и какие его недостатки? Чем вызвана необходимость введения несобственных элементов при изучении проективных преобразований? Что такое несобственная точка, несобственная прямая и несобственная плоскость? Какими свойствами они обладают? Что представляет собой проективное пространство и каковы его основные свойства, отличные от свойств евклидового пространства?

Назовите основные проективные формы. По какому принципу их разбивают на классы? Сформулируйте и обоснуйте принцип двойственности в проективном пространстве (большой принцип двойственности). Приведите примеры двойственных аксиом и других проективных предложений. Сформулируйте и обоснуйте принцип двойственности в проективной плоскости (малый принцип двойственности). Приведите примеры двойственных проективных предложений относительно элементов плоскости.

Сформулируйте и докажите теорему Дезарга. Какие конструктивные задачи можно решать с помощью теоремы Дезарга?

Что такое сложное отношение четырёх точек и как оно вычисляется? Что такое сложное отношение четырёх прямых пучка и как оно вычисляется? Сформулируйте и докажите основные свойства сложных отношений.

Какие два прямолинейных ряда точек называются перспективными? Какие два пучка прямых называются перспективными? Какие прямолинейный ряд точек и пучок прямых называются перспективными? Какие две формы первой ступени называются проективными? Докажите, что сложное отношение четырёх элементов можно рассматривать как инвариант проективного соответствия. Сформулируйте и докажите два основных свойства проективных соответствий двух форм первой ступени. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие перспективности двух форм первой ступени.

Какие четыре точки прямолинейного ряда (или четыре прямые пучка) называются гармонически расположенными? Как построить четвёртую гармоническую точку по трём заданным? Укажите три способа её построения. Какая фигура называется полным четырёхугольником? Какие гармонические свойства полного четырёхугольника вы знаете? Какие задачи конструктивной геометрии можно решить, используя гармонические свойства полного четырёхугольника, при помощи одной только линейки?

Какое проективное преобразование прямолинейного ряда точек (или пучка прямых) называется инволюцией? Какими свойствами обладает инволюция? Как классифицируются инволюционные преобразования по типам?

Как задаются проективные преобразования прямолинейного ряда точек и пучка прямых в обыкновенных декартовых координатах? Как в декартовых координатах задаётся инволюция и как определить её тип? Как найти двойные точки инволюции, заданной в декартовых координатах?