Проективная теория кривых второго порядка

Какое множество точек называется рядом точек второго порядка? Что представляет собой ряд второго порядка в случае, когда его носителями являются два перспективных пучка? Какое основное свойство рядов второго порядка вы знаете?

Какое множество прямых называется пучком прямых второго порядка? Что представляет собой пучок прямых второго порядка в случае, когда его носителями являются два перспективных прямолинейных ряда?

Сформулируйте и докажите основную теорему для рядов второго порядка. Докажите два основных следствия из основной теоремы для рядов второго порядка. Какая прямая называется касательной к ряду второго порядка? Как построить сколь угодно много точек ряда второго порядка, если заданы любые пять его точек?

Сформулируйте основную теорему для пучков второго порядка. Какие следствия из основной теоремы для пучков второго порядка вы знаете? Как построить сколь угодно много прямых пучка второго порядка, если заданы любые пять прямых этого пучка?

Докажите теорему Паскаля для рядов второго порядка. Сформулируйте и обоснуйте теорему Брианшона. Какие частные случаи теоремы Брианшона вы знаете? Какие конструктивные задачи могут быть решены с использованием теоремы Брианшона?

Коллинеарные и коррелятивные соответствия плоских полей

Дайте определение проективности двух форм первой ступени по Штейнеру (через сложные отношения четвёрок соответственных элементов) и по Штаудту (исходя из инвариативности гармонических четвёрок элементов).

Какие соответствия двух плоских полей называются коллинеарными? Докажите, что соответственные формы первой ступени двух плоских полей являются проективными. Какие коллинеации называются перспективными? Какое соответствие двух плоских полей называется гомологией? Как задаётся гомология? Приведите примеры перспективных коллинеаций и гомологий.

Какое соответствие двух плоских полей называется коррелятивным? Что представляют собой полюсы и поляры относительно данного ряда второго порядка на плоскости? Дайте три различных определения поляры. Докажите, что положение поляры определяется только точкой (полюсом). Сформулируйте и докажите принцип двойственности. Как построить поляру по заданному полюсу и как найти полюс по заданной поляре? Рассмотреть все случаи. Чем определяется полярное преобразование плоскости? Почему полярное преобразование плоскости можно рассматривать как корреляцию? Какие конструктивные задачи можно решать с помощью одной только линейки, используя полярные преобразования плоскости?

Как вводятся проективные координаты путём обобщения декартовых? Каким недостатком обладают обыкновенные проективные координаты, и как от него можно избавится? Что представляют собой однородные декартовы координаты? Какой геометрический смысл имеют однородные проективные координаты? Что вы можете сказать о знаках однородных проективных координат, и почему они называются «однородными»? Как задать на плоскости систему обыкновенных проективных координат или систему однородных проективных координат? Что представляет собой базисный треугольник?

Как связаны между собой однородные декартовы и однородные проективные координаты точки на плоскости? Как аналитически задаётся связь между однородными проективными координатами точки в двух различных системах координат?

Как задаётся коллинеарное преобразование плоскости в однородных проективных, в обыкновенных проективных и декартовых координатах? Как найти двойные точки коллинеарного преобразования плоскости, заданного в координатной форме? Сколько неподвижных точек может иметь коллинеарное преобразование плоскости? Сколько неподвижных прямых может иметь коллинеарное преобразование плоскости, и как они связаны с неподвижными прямыми?

Какой вид имеет каноническое уравнение ряда точек второго порядка в обыкновенных проективных и однородных проективных системах координат (два случая)? Какой вид имеет общее уравнение ряда точек второго порядка? Какие пять типов кривых могут быть заданы на расширенной проективной плоскости с помощью общего уравнения второго порядка? Докажите, что ряд точек второго порядка и кривая второго порядка представляют собой тождественные понятия. Почему эллипс, гипербола и парабола с проективной точки зрения не различимы?

Проективная, аффинная и метрическая геометрии и их группы

Дайте определение группы. Докажите, что множество всех коллинеарных преобразований плоскости образуют группу относительно композиции (произведения) этих преобразований.

Покажите, что множество всех аффинных преобразований плоскости является группой относительно композиции этих преобразований.

Что вы знаете о метрической геометрии и о её группах?

Как связаны различные группы проективной геометрии друг с другом?

Расскажите о практическом значении проективной геометрии и о её связи с другими геометрическими теориями.

Расскажите про возникновение и развитие проективной геометрии.