Центральная предельная теорема.

- непрерывные случайные вектора

Они имеют произвольные, но одинаковые законы распределения.

Тогда при n->∞

к нормальному распределению.

Если случайные величины в последовательности независимы, одинаково распределены и имеют, то для любого действительного.

- чентральная предельная теорема.

Доказательство:

Используем аппарат характеристических функций:

Для характеристической функции случайной величины У:

- есть характеристическая функция нормированной нормальной величины, следовательно, закон распределения У₀, а значит и У принеограниченно приближается к нормальному распределению.

У имеет приблизительно равные нормальные распределения (и тем точнее, чем больше n).

Примечание:

Доказанная центральная предельная теорема как это установил Ляпунов справедлива так же, когда случайные величины Х имеют произвольные и резные распределения вероятности. При этом требуется только чтобы Х_кне доминировало в сумме над остальными. Эти и объясняется широкое распространение нормального распределения.

Формула Муавра-Лапласа

Пусть производится nнезависимых опытов в каждом из которых А наступит или не наступит.

Тогда по формуле Бернулли:

Обозначим через Х_кчисло наступлений события А в к-ом опыте.

Y=X₁+X₂+…+X_n– общее число наступления события А вnопытах, а так как опыты независимы, то все Х независимы и имеют одинаковые распределения.

Поэтому согласно доказанной центральной предельной теоремы при достаточно больших nраспределениеYпримерно равно нормальному распределению.

При достаточно большом n:

(7)

Биномиальное распределение при больших nможет быть примерно заменено нормальным распределением с теми жеMиD.

Случайные функции

Случайной функцией X(t) называется функция, которая, при любом фиксированном значенииt, является случайной величиной, при этомtнеслучайная величина.

Далее t–время.

Пусть для исследуемой случайной функции проводится nопытов, в каждом опыте получают ту или иную заранее неизвестную определенную неслучайную функциональную зависимость, она называется реализацией случайных функций.

Если измеряется Uв сети 5 раз:

Априорные значения X(t₁) – это случайная величина для случайной функцииX(t₁) дляt₁могут быть либо дискретными, либо непрерывными. Возможны различные сочитания дискретности и непрерывности.

непрерывный процесс

Х – непрерывная

t– дискретная

непрерывная последовательность

Х – дискретная

t– непрерывная

Дискретная последовательность