Моменты случайных величин

Математическое ожидание является основной численной характеристикой случайных величин, на ряду с ней для приблизительного описания случайных величин употребляют моменты.

υ_к - начальный момент к-ого порядка случайной величины Х^к

- центральный момент к-ого порядка – математическое ожидание случайной величины (Х-М[Х])^к

Особенно важная роль принадлежит центральному моменту 2-го порядка, который называется дисперсией.

Она характеризует степень разброса возможных значений случайной величины около ее центра (математического ожидания).

Тогда используя формулу получим:

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины, что на практике не удобно, поэтому вместо нее используют среднее квадратичное отклонение:

Формула для математического ожидания превращается:

• Х – дискретная случайна величина:

• Х – непрерывная случайная величина:

Основные распределения вероятностей.

Характеристической(?) функциейслучайной величины Х называется функция (g(t)), математическое ожидание случайной величины :

t –действительная переменная

(1)

Х – дискретная случайная величина P(X=xk)=Pk, k=1,2,…,m (2)

X– непрерывная случайная величина F`(x)=f(x) (3)

Преобразование функции для f(x)

Предположим, что существует начальный момент к-ого порядка величины Х, продифференцируем (1):

t=0

(4)

Биномиальное распределение.

(Для дискретной случайной величины)

Х - дискретная случайная величина

Производится nнезависимых опытов

А – либо наступит, либо нет.

Р(А)=р, Р()=q,p+q=1

Х – число наступления события А в nопытах.

Тогда закон распределения Х можно определить по формуле Бернулли:

,k=1,2,..,n(5)

Пространство элементарных событий состоит из n+1 исходов: Е₀,Е₁,…,Е_n

E_k={X=k}, k=0,1,…,n

Эта ступенчатая функция в точках разрыва имеет скачки, равные вероятности.

Распределение Пуассона

k=0,1,…

Пространство элементарных событий состоит их бесконечного множества событий.

Е_к={X=k}, k=0,1,2,…

Если nвелико, а р мало, то вместо точной формулы (5) можно использовать приближенную формулу (6).

Нормальное распределение

Х – непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение если плотность вероятности

-∞<x<∞ (7) - плотность

и- параметры,>0

Пространство элементарных событий здесь составляет всю действительную ось.

Убедимся, что (7) – плотность:

Функция определяемая формулой (7) – плотность вероятностей.

Она есть непрерывно дифференцируемая функция.

При уменьшениикривая плотности вероятности становится более островершинной.

При плотность вероятности превращается в дельта функцию.

При , функция распределения превращается в единичную:

Нормированные величины

Случайная величина называется нормированной, если ее математическое ожидание =0, а дисперсия =1.

F₀(-x)+ F₀(x)=1

Правило трех :

Событие имеющее вероятность 0,997 считают достоверными, поэтому на практике все значения, которые может принять случайная величина в результате опыта отклоняются не более чем на утроенное .