Формулы для вычисления вероятностей

Пусть пространство элементарных событий состоит из элементарных событий Е₁,Е₂,…,Е_n.

Ω= Е₁+Е₂+…+Е_n

Р(Е₁)+P(Е₂)+… +P(Е_n)=1

Рассмотрим некоторое событие А= Е_k1+Е_k2+…+Е_km

По теореме сложения получаем:

Р(А)= Р(Е_k1)+P(Е_k2)+… +P(Е_km)

Р(Е₁)=P(Е₂)=… =P(Е_n)=

(классическая формула для определения вероятности)

Формула полной вероятности

Событие А может наступить лишь при одном из условий Н₁,Н₂,…,Н_n, тогда:

(1)

Доказательство:

А= АН₁+АН₂+…+АН_n

Используя аксиому сложения получаем формулу (1)

Формула Байеса (формула гипотез)

Пусть событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий Н₁,Н₂,…,Н_n, причем эти события образуют полную систему. Так как заранее неизвестно какое из этих событий наступит, эти события называютгипотезами.

P(AH_k)=P(A)P(H_k/A)

P(H_kA)=P(H_k)P(A/ H_k)

P(A)P(H_k/A)=P(H_k)P(A/ H_k)

P(H_k/A)=αP(H_k)k=1,2,…,n

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, а именно умножая априорную вероятностьP(H_k) на α получаем уточненную апостериорную вероятность того, что событие А произошло.

Формула Бернулли.

Пусть произошло nнезависимых опытов в каждом из которых может наступить некоторое событие А, причем оно наступит с вероятностью Р(А)=р и не наступит с вероятностью Р()=q, причемp+q=1.

Мы хотим узнать вероятность, что это событие произошло kраз.

Так как из nиспытаний вkэто событие наступило, то в (n-k) испытаний – нет.

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получаем:

Случайные величины.

Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий для данного опыта, случайные величины задаются каким либо законом распределения ее вероятности.

Опыт состоит в подбрасывании монеты три раза: (1-герб, 0-цифра)

Е₁=[0,0,0] Е₂=[0,0,1] Е₃=[0,1,0] Е₄=[0,1,1]

Е₅=[1,0,0] Е₆=[1,0,1] Е₇=[1,1,0] Е₈=[1,1,1]

Х=Х(Е_к) – число выпадающих гербов

Еi	Е1	Е2	Е3	Е4	Е5	Е6	Е7	Е8
X	0	1	1	2	1	2	2	3

Х=Х(A_i)

А₁=Е₁А₂= Е₂+ Е₃+ Е₅А₃= Е₄+ Е₆+ Е₇А₄=Е₉

Ai	А1	А2	А3	А4
Х	0	1	2	3

По теореме о сложении вероятностей несовместных событий:

Р(Х=0)=Р(А₁)=1/8

Р(Х=1)=Р(А₂)=3/8

Р(Х=2)=Р(А₃)=3/8

Р(Х=3)=Р(А₄)=1/8

Общий случай:

Пусть х₁,х₂,…,х_m– совокупность всех возможных значений некоторой величины Х, тогда закон распределения этой случайной величины записывается следующим образом:

Х	х1	х2	…	Хm
рi	p1	p2	…	pm

(1)
P_i=P(X=x_i)

(X=x₁), (X=x₂)… (X=x_m) –эти события образуют полную систему

(2) -условие нормировкидля дискретной случайной величины

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), заданная на -∞≤х≤∞ и равная вероятности того, что случайная величина Х в результате опыта примет какое-либо значение меньшее чем х.

F(x)=P(X<x) (3)

Свойства функции распределения:

1. 0≤F(x)≤1, -∞≤х≤∞ так какF(x)=P

2. F(-∞)=0, так как{X<-∞}=θ

3. F(∞)=1, так как{X<∞}=Ω

4. F(x`)≤ F(x``), x`≤x``

Доказательство:

{X<x``}={X<x`}{ x`≤X<x``}

P(X<x``)=P(X<x`)+P( x`≤X<x``)

F(x``)-F(x`)=P( x`≤X<x``)≥0

F(x``)-F(x`)≥0 (4) (неубывающая функция)

x`=a x``=b

P(a≤X<b)= F(b)-F(a) (5)

Вероятность того, что в результате опыта Х примет какое-либо значение из промежутка [a,b) равна приращению функции распределения на концах этого промежутка.

(6)

Функция распределения для дискретной случайной величины является кусочно-постоянной (ступенчатой) со скачками в точках х₁,х₂,…,х_mи эти скачки равны Р₁,Р₂,…,Р_m

В точке разрыва функция принимает значения слева

F(x_i)=F(x_i-0)

Случайная величина называется непрерывной, если функция распределения есть непрерывная функция.

(7)