43) Сформулировать определение ортонормированного базиса.

Тройка векторов  называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .

Гришин

Ларичев

Вопрос 13-Дать определение ортонормированному базису. Сформулировать теорему о разложении вектора по базису.

Ортонормированный или ортогональный базис есть базис, составленный из попарно ортогональных (взаимоперпендикулярных) векторов, называемыми базисными векторами.

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

   Доказательство. Пусть L произвольная прямая (или ось) и  –базис  . Возьмем произвольный вектор  . Так как оба вектора   и  коллинеарные одной и той же прямой L, то  . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как  , то найдется (существует) такое число  , что   и тем самым мы получили разложение вектора   по базису   векторного пространства  .

   Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора   по базису   векторного пространства  :

 и  , где  . Тогда   и используя закон дистрибутивности, получаем:

                       .

Так как  , то из последнего равенства следует, что  , ч.т.д.

Вопрос 32. Записать формулы для вычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе и косинуса угла между векторами.

|a|=корень из (x^2+y^2+z^2) (Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат)

Cos A = (a*b)/(|a|*|b|)(косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения векторов на произведение длин векторов).

Вопрос 51. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Перечислить основные виды уравнений плоскости в пространстве. Указать геометрический смысл входящих в них параметров.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:  ïï .Это условие выполняется, если:  .

Ax + By + Cz +D = 0

x/a+y/b+z/c=1

x*cos A+y*cos B+z*cos C-p=0

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

A,B,C-константы,A^2+B^2+C^2 неравно нулю(три константы неравны нулю одновременно)

Ларичев С (13)

Корякин

Вопрос 12

Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в трехмерном пространстве, и в пространстве любой размерности.

Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроектировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.

Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.