Колычков! Миронова

Аналитическая геометрия.

14 Вопрос: дать определение равенства двух свободных векторов.

Два вектора равны тогда и только тогда, когда они коллинеарны, сонаправленны, имеют равные длины.

Вопрос 33: записать формулы для вычисления координат точки, делящей отрезок в заданном отношении.

М(x,y,z) - точка; |АМ|/|MB|=λ/μ ; А(x1,y1,z1) ; B(x2,y2,z2); λ; μ > 0; λ+μ ≠ 0

формулы в координатах: x=( μх1+ λх2)/( λ+ μ)

y=( μy1+ λy2)/( λ+ μ)

z=( μz1+ λz2)/( λ+ μ)

Вопрос 52: сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. сформулировать определение скалярного произведения. вывести формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов, заданных в ОНБ. сформулировать свойства скалярного произведения.

параллельность 2-х плоскостей: если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны 2м пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

перпендикулярность 2 -х плоскостей: если одна плоскость содержит в себе перпендикуляр к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

скалярное произведение: скалярным произведением 2х векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Пусть ОНБ: i,j,k.

a=α1i+ α2j+ α3k;

b=β1i+ β2j+ β3k;

(a, b)=( α1i+ α2j+ α3k)*( β1i+ β2j+ β3k)= α1β1+ α2 β2+ α3 β3;

свойства скалярного произведения:

1. скалярное произведение коммутативно

(a,b)=(b,a)

2. для любого a скалярное произведение вектора самого на себя есть квадрат длины этого вектора. (a,a)=|a|²

3. скалярное произведение равно 0 тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы 1 из них равен нулевому вектору.

4. векторы ортонормированного базиса удовлетворяют следующим соотношениям:

(i, i)=(j, j)=(k, k)=1;

(i, j)=(j, k)=(k, i)=0.

Миронова

Белинский

4) Дать определение геометрического вектора и орта вектора.

Геометрический вектор – направленный отрезок или упорядоченная пара точек.

Орт вектора (единичный вектор) – вектор, длина которого равна единице.

23) Записать формулу для вычисления ортагональной проекции вектора на заданное направление.

пр_Īā=IāIcos(a,^˄ l)

42)Сформулировать определение коллинеарности двух векторов и доказать теорему о необходимом и достаточном условии коллинеарности двух векторов.

Два вектора коллинеарны, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора ā и вектора b является существование такого числа x, которое удовлетворяет равенству ā=λb .

Дано: ā=x1i+y1j+z1k; b=x2i+y2j+z2k.

Доказать: ā=λb.

Доказательство:

Пусть вектор ā коллинеарен вектору b. Тогда x1/x2=y1/y2=z1/z2. Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда x1=λx2, y1=λy2,z1=λz2. Следовательно ā=x1i+y1j+z1k= λx2i+λy2j+λz2k=λ(x2i+y2j+z2k)= λb.

Ч.т.д.

Белинский

Новопокровский

№15 Смешанным произведением некомпланарных векторов a, b, c , взятых в данном порядке, называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение b и c

Выведение формулы:

Свойства:

1)Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам(меняет знак на противоположный при перемене мест 2-х сомножителей)

2)Смешанное произведение в правом прямоугольном базисе равно определителю матрицы(см выше формулу). В левом – определителю, взятом с минусом.

3)Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, взятому на этих векторах.

4) Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

а) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

б) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

5) Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

6)Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

№34 Общее уравнение прямой в пространстве(через координаты плоскостей):

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Где x,y,z – координаты точки М, принадлежащей прямой

Векторное уравнение прямой в пространстве:

rˉ=tsˉ+r₀ˉ

Где rˉ- радиус вектор от центра координат до точки М, принадлежащей прямой.

r₀ˉ - радиус вектор от начала координат до точки М₀

sˉ-направляющий вектор к данной прямой.

Поскольку sˉ коллиниарен ММ₀ˉ, то ММ₀ˉ=tsˉ, где т – параметр, равный отношению соответствующих координат векторов.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

Запишем векторное уравнение в координатной форме.

, , =>

Канонические уравнения прямой

Пусть М1(x1, y1, z1) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор

Векторы и коллиниарны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны. Получаем канонические уравнения:

Новопокровский

Гришин

5) дать опеределение коллинеарности и компланарности вектров.

Два ненулевых вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.

24) записать формулу для вычисления расстояния между 2мя скрещивающимися прямыми. Сформулировать определения скалярного произведения. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения 2х векторов, заданных в ортонормированном базисе. Сформулировать свойства скалярного произведения.

А)Пусть прямые заданы векторными параметрическими уравнениями:

Тогда расстояние между ними можно определить, используя операции смешанное произведение и векторное произведение:

(наверху модуль смешанного, внизу модуль векторного)

Б)скалярным произведением 2х векторов называется произведение длин этих вектров на косинус угла между этими векторами.

В) ab = (xai + yaj + zak)(xbi + ybj + zbk) =

= xaxbii + xaybij + xazbik + yaxbji + yaybjj + yazbjk + zaxbki + zaybkj + zazbkk =

= xaxbi2 + yaybj2 + zazbk2 = xaxb + yayb + zazb

Г)коммутативность ab = ba:

Ассоциативность (Oa)b = O(ab):

Дистрибутивность (a + b)c = ac + bс

Свойство скалярного квдарата: а^2>=0 ,причем а^2=0 только тогда,когда а=0