Колычков!

11) В математике, орт произвольного ненулевого вектора c — единичный вектор, коллинеарный c и имеющий одинаковое с c направление.  Вектор, длина которого равна 1, называется единичным.  Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора AB, называется ортом вектора AB и обозначается AB e.

Направляющие косинусы вектора (в пространстве) – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:

где , ,  – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно.

12)

Cos(a)=	|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
	(A12 + B12 + C12)1/2(A22 + B22 + C22)1/2

49) Условие принадлежности прямой плоскости

Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.

Так, например, на рис. 20 векторы  BC^> и  AD^> коллинеарны, а векторы  AB^> и AC^> неколлинеарны.

Если векторы а и b коллинеарны, то говорят также, что вектор а коллинеарен векторуb, а вектор b коллинеарен вектору а.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Теорема   (признак коллинеарности). Для того чтобы вектор а был коллинеарен ненулевому вектору b, необходимо и достаточно, чтобы существовало число k, удовлетворяющее условию

a = kb.                (1)

Достаточность. Если при некотором k равенство (1) выполняется, то векторы b и аколлинеарны по определению умножения вектора на число и определению коллинеарных векторов.

Необходимость. Пусть вектор а коллинеарен ненулевому вектору b. Возможны следующие три случая:     а   b,     а   b,   а = 0.

Если а   b, то a =   • b, т. е. равенство (1) выполняется при  k =  

Если а   b , то a = —   • b, т. е. равенство (1) выполняется при k =  — 

Если а = 0, то а = 0 • b , т. е. равенство (1) выполняется    при k= 0.

Задача. Доказать, что векторы  AВ^> +  СВ^> + 2 ВА^> и ¹/₃ AС^> коллинеарны.

Используя свойства операций над векторами, получим

AВ^> +  СВ^> + 2 ВА^> = (AВ^> + ВА^>) + (СВ^> + ВА^>) =  0 + ВА^> = ВА^> = — АС^>.

Таким образом,

AВ^> +  СВ^> + 2 ВА^> = —3 (¹/₃ AС^>) .

По признаку коллинеарности векторов данные в условии векторы коллинеарны.

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0,     (6)

угол между ними определяется по формуле

     (7)

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     (10)

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.     (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.     (12)