2.2. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ) [3] представляют собой класс линейных циклических кодов, исправляющих крат­ные ошибки, и являются обобщением ранее описанных кодов Хэмминга. Коды БЧХ обычно задаются через корни порождаю­щего многочлена g(x) степени п-k. Данные коды определяются представленным ниже образом [15].

Примитивным кодом БЧХ, исправляющим / ошибок, назы­вается блоковый код длиной n = q^m -1 над полем Галуа GF{q),

для которого элементы а'"⁰, а'"⁰⁺¹, _а^то⁺²'~~¹ (дд_Я

произвольного т₀) являются корнями порождающего многочлена g(x), где а - примитивный элемент поля GF(q^m).

Основываясь на представленном определении порождаю­щий многочлен кода БЧХ можно записать в виде

g{x) = НОК(т_то{х), т_щ+1{х),т_щ+2,__х{х)), (2.9)

где т_с(х)~ минимальная функция а^с в поле GF(q), причем в случае двоичных кодов БЧХ наименьшее общее кратное ищет­ся только для минимальных функций с нечетными индексами.

32

Непримитивные коды БЧХ определяются аналогично, но примитивный элемент а заменяется непримитивным элементом Р поля GF(q"'), и длина блока становится равной порядку /?.

Для большого количества практически используемых зна­чений п, к и / порождающие полиномы уже получены, и их можно найти, например, в [15, 19].

Можно получить асимптотические оценки зависимости ве­роятности ошибки в кодовом блоке Р_в, </-ичном символе P_s и бите Рь при декодировании кодов БЧХ по максимуму правдо­подобия. Данные оценки не требуют знания спектра кода и имеют вид [15, 20]

Рв= lC'Pj(l-P_q)^a-'', (2.10)

/=/+1

_i(i+t)c'p4ⁱ_(i-pqy-¹_{, (2.ii)}

^п i=t+\

Ръ~—Л- (2Л2)

q-l

При выводе данных оценок предполагалось, что кодовый блок декодируется неверно при наличии в нем более чем / оши­бочных символов, а неправильно декодированное кодовое слово отличается от переданного не более чем в (/+/) g-ичных симво­лах. Также считалось, что в неправильно декодированном сим­воле примерно половина кодовых битов будет ошибочной.

Для некоторых (п, к) кодов БЧХ с г = kin -1/2 оценка веро­ятности символьной ошибки представлена на рис. 2.3. На рис. 2.4 показаны графики зависимости оценки вероятности ошибки на символ P_s от отношения сигнал-шум на бит Eb/N₀ для кодовых скоростей г, близких к 1/3 и 2/3. Как следует из сопос­тавления представленных графиков, энергетическая эффектив­ность кодов БЧХ с уменьшением кодовой скорости понижается.

Поскольку коды БЧХ относятся к циклическим блоковым кодам, задаваемым образующим полиномом, кодирование ин­формационной последовательности осуществляется в соответ­ствии с (1.29). Декодирование кодов БЧХ может выполняться

33

с помощью алгебраических методов, достаточно подробно опи­санных в [15, 19].

На рис. 2.5 представлены экспериментальные зависимости вероятности ошибки на бит Р/, от отношения сигнал-шум на бит Ei,iN_a для кодов БЧХ с кодовой скоростью г«1/2 при работе в ДСК. Из сопоставления данного рисунка с рис. 2.3 (для двоич­ных кодов вероятность ошибки на бит Рь и на символ /?, совпа­дают) видно, что аналитическая зависимость вероятности ошиб­ки (2.12) вполне подходит для оценивания сверху ее реального значения.

4 4,5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8

Е_ь/Н₀,дБ

Рис. 2.5. Характеристики различных кодов БЧХ в ДСК для кодовых скоростей, близких к 1/2

Как видно из представленных характеристики, коды БЧХ обладают существенно лучшей эффективностью по сравнению с кодами Хэмминга, однако эти характеристики все еще очень далеки от предельных значений (см. рис. 1.8). Кроме того, слож­ность декодирования данных кодов при большом значении и очень велика. Поэтому коды БЧХ небольшой длины, так же как

35 и коды Хэмминга, в основном применяются в качестве состав­ляющих элементов более эффективных каскадных кодов.