2. Блоковые коды и методы их декодирования

2.1. Коды Хэмминга

Одними из самых простых являются коды Хэмминга, пред­ставленные Хэммингом в 1950 г. [44]. К данным кодам относят­ся линейные блоковые коды с параметрами (п, к) вида (2"'-1, 2"'-т-\), где т=п-к- число проверочных символов кода. Коды Хэмминга обладают кодовым расстоянием d,„,„-3 и поэтому способны исправлять только одну или обнаружить две ошибки.

Для задания кодов Хэмминга обычно используется прове­рочная матрица Я, содержащая т строк и 2"'-1 столбцов, причем столбцами являются все возможные ненулевые двоичные векто­ры длины т. Для примера приведем проверочную матрицу (7, 4) кода Хэмминга, записанную в виде (1.24): 0 11 10 0'

# =

1110 0 111

0

(2.1)

Порождающая матрица данного кода формируется из еди­ничной матрицы размером к*к и транспонированной подматри­цы, состоящей из первых к строк матрицы Н:

G =

0 1 0 0

0 0 0 1

(2.2)

Коды Хэмминга являются одними из немногих кодов, для которых полностью известно распределение весов кодовых слов, определяемое весовой функцией

_{N(x)=t^x', (2.3)}

/=о

где N, - число кодовых слов веса /. Для кодов Хэмминга с d_mm=3 и и=2^<я-1 весовая функция имеет вид [19]

_iV(_x)=_Lf(i _{+ x})"₊„(i _{+ x})<«-^I)^/2(i

п + I

_суи+1)/2

(2.4)

29

Знание спектра кода, как было показано в разделе 1.5, мо­жет оказаться полезным при получении границ его эффектив­ности.

Кроме описанных кодов Хэмминга существуют так назы­ваемые укороченные и расширенные коды Хэмминга. Укорочен­ные коды Хэмминга получаются при исключении какой-либо проверки (т.е. удалении одной строки проверочной матрицы). Расширенные коды Хэмминга получаются путем введения дополнительной проверки на четность всех символов кодового слова. В результате их минимальное расстояние увеличивается до d_mi„=4, что позволяет данным кодам исправлять одну и обнаруживать две или только обнаруживать три ошибки. Про­верочная матрица Н расширенного кода Хэмминга, заданного матрицей (2.1), имеет вид

О 1

1 1 1 О

1

О О

О

(2.5)

1111

Для удобства работы данную матрицу можно привести к канонической (систематической) форме (1.24) с помощью прибавления к последней строке всех остальных строк:

# =

О

1

О 1

О О

(2.6)

Спектр расширенных кодов функцией

Хэмминга задается весовой

N{x) = — (1 + х)" +(1-*)"+ 2(и -\% -х²)" 2п.

12

(2.7)

Далее рассмотрим характеристики кодов Хэмминга. На рис. 2.1 и 2.2 представлены экспериментальные зависимости вероятности битовой ошибки Рь от вероятности ошибки в канале р и от отношения сигнал-шум на бит E_h/N₀ для кодов Хэмминга с т=3-1 при работе в ДСК, декодируемых с помощью

30

декодера Меггита, описываемого в разделе 2.5. Заметим, что между вероятностью ошибки р в канале и отношением сигнал-шум на бит Ei/Nq существует следующая зависимость:

		(
t Г2—	= Q		\2r-b-
			\ No)

(2.8)

где Q(x)- функция, определенная (1.3); г- кодовая скорость кода (r=kln).

Как видно из представленных рисунков, коды Хэмминга обладают очень слабой корректирующей способностью и от­дельно практически не используются. Однако применение данных кодов в составе каскадных схем кодирования (например, Turbo Product Codes [49, 60]) позволяет получить очень хорошие результаты. Более подробное описание кодов Хэмминга можно найти в [15, 19].