1.3. Пропускная способность канала связи

Одной из основных характеристик канала является его про­пускная способность С, которая определяется как максимальная средняя взаимная информация I(X;Y) между входом X и выходом Y канала. Важность этого понятия основана иа тео­реме о кодировании для канала с шумами [25], которая утвер­ждает, что если скорость передачи двоичных сообщений (или кодовая скорость г, определяемая в разделе 1.4) меньше пропу­скной способности канала С, то с помощью правильно выбран­ных кодера и декодера можно вести передачу по каналу с шумом со сколь угодно малой вероятностью ошибки.

Для ДКБП пропускная способность вычисляется следую­щим образом:

10

C = m_axl(X;Y)=maxZ^QZP(xj)p(y_i\x_j)\og[p(y_i\x_j)/P(y_ij\.

(1.8)

Здесь максимизация осуществляется по всем возможным наборам вероятностей входных символов Р{х). В том случае, если канал является симметричным, максимизация достигается при равновероятных входных символах, т.е. при P(Xj)-\lq, /=0, \,...,q-\.

Для ДСК пропускная способность равна

C = \ ₊ p\og₂p + {\-p)\og₂{\-p). (1.9)

Графики зависимости пропускной способности ДСК от ве­роятности ошибки р и от отношения сигнал-шум на символ EJNq в канале связи представлены на рис. 1.4 и 1.5.

Для канала с АБГШ пропускная способность С опреде­ляется так:

Вероятность ошибки р

Рис. 1.4. Зависимость пропускной способности канала С и вычислительной скорости r₀ от вероятности ошибкир

11

q-\ оо t I \

C = max £ J ^|log₂^ВД/у, (1.10)

/»(*,) i=o-«, PU7

где /т(у|^=Ху) вьгчисляется по формуле (1.7), а

В случае работы в канале с АБГШ с двумя возможными входами Х={-\, 1} выражение (1.10) преобразуется к виду

_{с] р(у 10 'og2} ⁺ _{\ 1ЖI -}¹₎ ^lo_& ^£t_TT^

(1.12)

где /?(>>) = ~\р{у 1| -1)].

Графики зависимости пропускной способности канала с АБГШ с двумя возможными входами от вероятности ошибки р

12 и от отношения сигнал-шум E_s/N₀ в канале связи также пред­ставлены на рис. 1.4 и 1.5. Отметим, что одинаковой пропускной способности с ДСК канал с АБГШ достигает при отношении сигнал-шум примерно на 2 дБ меньшем, что показывает сущест­венное преимущество использования мягких решений демо­дулятора.

Для <7-ичного симметричного канала пропускная способ­ность вычисляется следующим образом:

c=-£_>Ul*Jk>8—j-f- , (1.13)

где P(y,\Xj) вычисляется по формуле (1.5), а

я

Графики зависимости пропускной способности qCK от ве­роятности символьной ошибки Р_ц и отношения сигнал-шум E_x/Nq представлены на рис. 1.6 и 1.7 соответственно.

Еще одной важной характеристикой канала (особенно для методов последовательного декодирования, рассматриваемых в разделе 3.2) является его вычислительная скорость Ro (иначе называемая параметром экспоненциальной границы), исполь­зуемая при определении границы случайного кодирования

P_s<2

-я(Яо-Я)

(1.14)

показывающей, что если использовать достаточно длинные ко­ды, то при кодовой скорости R, меньшей вычислительной ско­рости Ro, среднюю по всевозможным кодам вероятность ошибки P_s при использовании достаточно длинных кодов можно сде­лать сколь угодно малой.

Для ДКБП вычислительная скорость рассчитывается сле­дующим образом:

(1.15)

13

При работе в ДСК выражение (1.15) принимает вид Я₀₌-1о_ё2Ш,/1^ + ^]²1 (1-16)

.2'

Для канала с АБГШ и двоичным входом выражение для оп­ределения вычислительной скорости R₀ выглядит следующим образом:

^l-log^l + e-^o). (1.17)

Для qCK с ортогональными сигналами и жестким решением демодулятора вычислительная скорость равна

R₀ =-Iog₂

(1.18)

Графики зависимости вычислительной скорости для выше­описанных моделей каналов связи представлены на рис. 1.4, 1.5 и 1.7 кривыми Rq.

Полезно получить зависимости пропускной способности канала С и вычислительной скорости R_d от отношения сигнал-шум на информационный бит (далее именуемое отношение сиг­нал-шум на бит), определяемого как отношение энергии, прихо­дящейся на один информационный символ к спектральной мощности шума E_h/N₀. Для этого сначала необходимо нормали­зовать зависимость C{EJNo) делением на N12 (здесь N- размер­ность пространства, используемого для передачи символов)

С(£,/Л'п)

N12 '

после чего вычислить соответствующее полученному С зна­чение Еь/Nq.

E_b/N_d^CE_s/N_Q.

Аналогично можно получить зависимость вычислительной скорости /?о от отношения сигнал-шум на бит Еь/Nq. Для приме­ра на рис. 1.8 представлены графики зависимости C(E/,/N₀) и Ro(Ei,/N(,) для ДСК и канала с АБГШ.

Более детальную информацию о расчете пропускной спо­собности и вычислительной скорости различных моделей кана­лов связи можно найти в книге Дж. Прокиса [20]. •

15