Глава 7 Производная

7.1. Определение производной

1. Производной функции y = f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

Δy f (x+Δx) – f (x)

y' = f'(x) = lim ― = lim ―――――― .

^Δx→0 Δx ^Δx→0 Δx

Если функция в точке x₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

2. Если функция y = f ' (x) дифференцируема в точке х₀ (или на промежутке Х), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке Х). Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

7.2. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций

1. Дифференцирование явных функций

Правила дифференцирования:

с – постоянная, u = u (х), v = v (х) – дифференцируемые функции:

с' = 0; (7.2) (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'; (7.7)

х'= 1; (7.3) u ' u'v - uv'

― = ―――――, v (х) ≠ 0; (7.8)

(u ± v)' = u' + v'; (7.4) v v²

(u v)' = u'v + uv'; (7.5) с ' сv

― = - ― , v (х) ≠ 0 (7.9)

(сu)' = сu'; (7.6) v v²

Производная сложной функции. Если y = f (u), u = u (x), т.е. y = f [u (x)], где f (u) и u (x) имеют производные, то

y'= f' (u) · u' . (7.10)

Производная обратной функции. Если y = f (x) ― дифференцируемая и строго монотонная функция на промежутке Х, то функция, обратная к данной х = φ(y), также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

1

x'_y = ― , y'_x ≠ 0 . (7.11)

y'_x

Логарифмическая производная. Логарифмической производной функции y = f (x) называется производная от логарифма этой функции, т.е.

y' f'(x)

(lny)' = ― = ―― . (7.12)

Y f(x)

Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

(xⁿ)' = nx ^n-1; (7.13) (cos x)' = -sin x ; (7.20)

1 1

(√x)' = ― , (х >0); (7.14) (tg x)' = ―― ; (7.21)

2√x cos² x

1

(e^x)' = e^x ; (7.15) (ctg x)'= - ―― ; (7.22)

sin² x

(а^х)' = a^x 1na ; (7.16) 1

(arcsin x)' = ――, (׀x׀<1); (7.23)

1 √1-х²

(1nx)' = ― , (x>0); (7.17) 1

х (arccos x)' =- ――, (׀x׀<1); (7.24)

1 √1-х²

(1og_ax)' = ―― , (х > 0, а >0); (7.18) 1

х1na (arctg x)' = ―― ; (7.25)

1+х²

(sin x)' = cos x ; (7.19) 1

(arcctg х)' =- ―― .

1+х²

2. Дифференцирование неявных функций

Если зависимость между х и у задана в неявной форме уравнением F(x,y)=0, то для нахождения производной функции у необходимо продифференцировать по х обе части данного уравнения, рассматривая у как функцию от х. Из полученного уравнения первой степени (относительно у') находится у' .

3. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Если функция аргумента х задана параметрически уравнениями х = φ (t) и φ (t), то

dy

dy у'_t dt

у'_х = ― = ― = ― . (7.27)

dx x'_t dx

dt