2.2 Система m линейных уравнений с n переменными

1. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы (А‌|В) (теорема Кронекера-Капелли).

2. Пусть r(A)=r,r<n; r переменных х1,х2,…,хr называются основными (базисными) ,если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остельные n-r переменных называются неосновными (или свободными).

Решение системы, в котором все n-r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Совместная система имеет:единственное решение, если n-r, и бесконечное множество решений, если r<n; число базмсных решений конечно и не превосходит С^r_n.

2.3 Метод Жордана—Гаусса

Метод Жордана—Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в преобразовании расширенной матрицы системы (А\В) к ви-

ду, при котором r переменных системы (где г = rang (A\B)) образуют диагональную матрицу с точностью до перестановки строк или столб­цов, что позволяет сразу, без дополнительных преобразований, полу­чить решение системы.

На каждом шаге решения выбирается разрешающий элемент a_rs = 0 (любой элемент матрицы А, отличный от нуля); r-я строка называется разрешающей строкой, x_s —разрешающей переменной. Для перехода к следующему шагу разрешающая переменная x_s исключается из всех остальных уравнений; элементы разрешающей строки делятся на раз­решающий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по следующему правилу {правилу прямоугольника):

a_ij *a_rs-a_is*a_rj

a′ _ij= a_rs

В формулах исключения в числителе стоит произведение за­меняемого и разрешающего элементов минус произведение элемен­тов, стоящих в оставшихся углах прямоугольника:

Заменяемый элемент aij ais <—Разрешающая переменная

Разрешающая строка arj ars

Разрешающий элемент

После получения новой матрицы выбирается новый, отличный от нуля, разрешающий элемент в другой строке, вычисляется новая матрица и т.д., пока матрица А не будет приведена к диагональному виду.

2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

1. Система называется однородной, если все свободные чле­ны уравнений равны нулю:

a ₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=0

…………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=0

Решение системы записываем в виде строки (вектора)

e=(x₁,x₂,…,x _n).

1 2. Если ранг матрицы системы г (А) = г < n, то система имеет n- r линейно независимых решений e₁,e₂,…,e_n-r, причем любое ре­шение системы является линейной комбинацией решений e₁,e₂,…,e_n-r. Набор решений (векторов) e₁,e₂,…,e_n-r называется фунда­ментальной системой решений системы. Общее решение системы имеет вид:

c₁e₁+c₂e₂+…+c_n-r e_n-r

где c₁,c₂,…,c _n-r - произвольные числа.

3. Для нахождения фундаментальной системы решений системы:

а) r основных (базисных) переменных (с отличным от нуля базисным минором) выражают через неосновные (свободные) переменные;

б) поочередно заменяют (n - r) неосновных переменных элемен­тами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n-r, например, единичной Е_n-r.