- •Матрицы и определители.
- •Матрицы и операции над ними.
- •1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица
- •1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.
- •1.4 Задачи с экономическим содержанием
- •2.2 Система m линейных уравнений с n переменными
- •2.3 Метод Жордана—Гаусса
- •2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •3.3. Линейные операторы
- •3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
- •3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •4.Уравнение линии. Прямая и плоскость
- •4.2. Кривые второго порядка
- •5.Введение в анализ
- •6. Пределы и непрерывность
- •Глава 7 Производная
- •7.1. Определение производной
- •7.2. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций
- •1. Дифференцирование явных функций
- •4. Производные высших порядков
- •7.3. Геометрические и механические приложения производной
- •7.4. Предельный анализ экономических процессов
- •8. Основные теоремы дифференциального исследования.
- •1. Теорема Ролля.
- •9 Дифференциал функции.
- •10. Неопределенный интеграл.
Матрицы и определители.
Матрицы и операции над ними.
1. Сложение (вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно:
C=A+B,если сij = aij+bij; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
2. Умножение матрицы на число- каждый элемент матрицы умножается на это число:
B = λA,если bij=λaij; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
3. Умножение матрицы А на матрицу В определено,когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.Тогда произведением матрицы
А * В называется такая матрица С, каждый элемент cij которой равен
m*k k*n
сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В:
k
cij = ∑ aisbis; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
s=1
4. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице Аا , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка
aاij = aji; i= 1,…,m; j= 1,…,n.
Свойства операции транспонирования:
(A')'=A; (λΑ)'=λΑ'; (A+B)'=A'+B'; (AB)'=B'A'.
5. Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень m (m>1):
Am = A*A …A.
m раз
6. Следом trA квадратной матрицы А называется сумма её диагональных
n
элементов: trA = ∑ aij
i=1
7. Матрица А-1 ,обратная к квадратной матрице А, - такая матрица,что
А-1 А = А-1А=Е,где Е-единичная матрица того же порядка.
Свойства обратных матриц:
(А-1)-1=А; (АВ)-1= В-1А-1; (А-1)′ = (А′)-1.
При умножении матриц обратите внимание на следующее:
Произведение матриц некоммутативно,т.е. АВ=ВА.Если АВ существует, то ВА – не обязательно. Даже если оба произведения существуют и представляют матрицы одного размера, то в общем случае АВ=ВА.
В равенствах АЕ=А и ЕА=А ,где А – матрица размера m*n,Е-единичная матрица:в первом равенстве-n-ого порядка,во втором равенстве-m-го порядка.
1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица
1. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:
а11 а12
∆2 = |А| = = а11а22 – а12а21
а21 а22
2. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или по правилу Сарруса.
а11 а12 а13
∆3 = |А| = а21 а22 а23 = а11а22а33 + а21а32а13 + а12а23а31 – а31а22а13 -
а31 а32 а33
- а21 а12 а33 – а32 а23 а11,
где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «-» (правая схема):
а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
3. Определитель квадратной матрицы n-го порядка определяется более сложным образом. Он может быть вычислен по теореме Лапласа.
4. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-ого порядка называется её минор Mij,т.е. определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-той строки и j-ого столбца, взятый со знаком (-1)i+j:
Аij=(-1)i+j Mij.
5. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
n n
А = ∑ аіј Аіѕ = ∑ аsj Asj
6. Определитель треугольной и ,в частности, диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов.
7. Некоторые свойства определителей квадратных матриц:
А) определитель не меняется при транспонировании матрицы;
В) определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (столбцы) матрицы;
С) определитель равен нулю, если: все элементы любой строки (или столбца) равны нулю;элементы любых двух строк (столбцов) пропорциональны либо D) определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на число, отличное от нуля.
8. Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля, т.е. А = 0.
9. Обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е. А=0. В этом случае её можно найти по формуле:
А-1 = 1/А*Ã,
где Ã- присоединенная матрица, элементы которой Аks=A'ks равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы А', транспонированной к матрице А.