4.Уравнение линии. Прямая и плоскость

Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости

1. Расстояние d между двумя точками М₁(х₁) и М₂(х₂) координатной оси находится по формуле:

d = │х₂ – х₁│.

2. Расстояние d между двумя точками М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) плоскости находится по формуле:

d = √(х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)² .

3. Расстояние d между двумя точками М₁(х₁,у₁,z₁) и М₂ (х₂,у₂,z₂) пространства находится по формуле:

d = √(х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)² + (z₂ – z₁)² .

4. Координаты (х,у) точки М, делящей отрезок с концами М₁ (х₁,у₁) и М₂ (х₂,у₂) в отношении λ, т.е. │М₁М│: │ММ₂│= λ , находится по формуле:

х₁+λх₂

х = ­­­­­­­­­­­­―――,

1 + λ

у₁+λу₂

у = ――― .

1 + λ

5. Координаты (х,у) точки М – середины отрезка с концами М₁ (х₁у₁) и М₂ (х₂,у₂) находятся по формуле:

х₁+х₂

х = ­­­­­­­­­­­­―――,

2

у₁+у₂

у = ――― .

2

6. Уравнение прямой:

- с угловым коэффициентом к и начальной ординатой b:

у = кх +b;

- проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом к) через данную точку М (х₀, у₀):

у – у₁ = к (х₁ - х₁);

- проходящей через две данные точки М₁ (х₁,у₁) и М₂ (х₂,у₂):

у – у₁ х – х₁

―― = ――

у₂ –у₁ х₂ – х₁

( с угловым коэффициентом у₂ – у₁

к = ―――);

х₂ – х₁

- в отрезках:

х у

― + ― = 1

а b

(а и b – соответственно отрезки, отсекаемые на осях Ох и Оу);

- общее:

Ах + Ву +С = 0.

7. Расстояние d от точки А (х₀,у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 находится по формуле:

│Ах₀ + Ву₀ + С│

d = ――――――― .

√ А² + В²

8. Две прямые (1) и (2) заданы уравнениями у = к₁х +b₁ и у = к₂х +b₂ или А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Угол φ между прямыми находится из соотношения:

←

к₁ – к₂

tg φ = ―――

1+к₁к₂

или

± (А₁А₂ + В₁В₂)

соs φ = ―――――――

√А₁²+В₁² √А₂²+В₂²

Условие параллельности прямых:

А₁ В₁

к₁ = к₂ или ― = ― ;

А₂ В₂

Условие перпендикулярности прямых:

1

к₂ = - ― или А₁А₂ + В₁В₂ = 0

к₁

Точка пересечения двух прямых находится из решения системы:

у = к₁х +b₁, А₁х + В₁у + С₁ = 0,

или

у = к₂х +b_2, А₂х + В₂у + С₂ = 0.

4.2. Кривые второго порядка

1. Общее уравнение кривых второго порядка:

Ах²+Вху+Су²+Еу+F=0

2. нормальное уравнение окружности радиуса Rс центром в точках С (х₀,у₀) и О (0,0) соответсвенно имеют вид:

(х-х₀)²+(у-у₀)²=R²

X²+y² =R²

3. Каноническое уравнение эллипса:

х²/a²+y²/b²=1

а,b-оси эллипса: b²=a²-c², F₁(c;0) иF₂(c;0)-фокусы эллипса.

Эксцентриситет эллипса ε=с/а

Расстояние точки М(х,у) эллипса до его фокусов:

r₁=a-εx, r₂=a+ εx.

4. Каноническое уравнение гиперболы

х²/a²-y²/b²=1

Расстояние точки М(х,у) гиперболы до фокусов:

r₁=│a-εx│, r₂=│a+ εx│

Уравнение обеих асимптот гиперболы у=±b/a x

5. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат:

У²=2рх

Расстояние от фокуса параболы F(p/2;0) до оси Ох(фокальный радиус):

R=x+p/2.

Уравнение диссектрисы параболы:

х=-р/2

6. Квадратный трехчлен у= Ах² +Вх+С есть парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу, и вершиной в точке (-В/2А,-D/4A), где D=В² – 4АС—дискриминант.

Прямая и плоскость в пространстве.

1. Уравнение плоскости:

-- перпендикулярной данному вектору n=(А,В,С) и проходящей через данную точку М₀(х₀,у₀,z₀)

А (х-х₀)+В (у-у₀)+С (z –z₀)

-- в отрезках х/а+у/b+z/c=1

-- общее Ах+Вх+Сz+D=0.

2. Даны две плоскости А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 (1) и А₂х+ В₂у + С₂z + D₂ = 0 (2).

Угол φ, образованный двумя плоскостями, находится из соотношения:

А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂

соs φ = ± ―――――――――――

√А₁²+В₁²+С₁² √А₂²+В₂²+С₂²

Условие параллельности двух плоскостей:

А₁ В₁ С₁

― = ― = ―

А₂ В₂ С₂

Условие перпендикулярности плоскостей

А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂ = 0

4. Уравнение прямой в пространстве:

-- как линии пересечения двух плоскостей:

А₁х₁+В₁у+С₁z+D₁ = 0,

А₂х₂+В₂у+С₂z+D₂ = 0;

-- проходящей через данную точку М (х₁,у₁,z₁) с направляющим вектором s = (m,n,p):

х – х₁ у – у₁ z – z₁

―― = ―― = ――

m n p

5. Даны две прямые с направляющими векторами s₁ = (m₁,n₁,p₁) и s₂ = (m₂,n₂,p₂).

Угол φ между двумя прямыми находится из соотношения:

m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂

соs φ = ± ―――――――――――

√m₁²+n₁²+p₁² √m₂²+n₂²+p₂²

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

m₁ n₁ p₁

― = ― = ―

m₂ n₂ p₂

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве:

m₁m_{2 +} n₁n_{2 +} p₁p₂ = 0.

6. Дана прямая х – х₁ у – у₁ z – z₁

―― = ―― = ―― и плоскость Ах + Ву +Сz + D = 0.

m n p

Угол φ между прямой и плоскостью определяется из соотношения:

│Аm + Bn + Cp│

sin φ = ――――――――――

√А²+В²+С² √m²+n²+p²

Условие параллельности прямой и плоскости:

Аm + Вn + Cp = 0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

А В С

― = ― = ― .

m n р