5.Введение в анализ

Функция

1. Если каждому элементу (значению) х множества X поставить в соответствие определенный элемент (значение) у множества Y, то го­ворят, что на множестве X задана функция у = f(х); при этом множе­ство X называется областью определения функции у, а множество Y— областью значений функции y.

2. Функцияy =f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения функции f(-х) =f(х), и нечетной, если/(-х) = = -f(x). В противном случаеf(х) — функция общего вида.

3. Функция у =f(х) называется возрастающей (убывающей) на не­котором промежутке X, если большему значению аргумента соответ­ствует большее (меньшее) значение функции f(х). Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

4. Функция f(х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое число М > О, что |f(х)| < М, для всех х Є X. В про­тивном случае функция называется неограниченной.

5. Если функция у = f(u) есть функция переменной и (определен­ной на множестве U с областью значений Y), а переменная и, в свою очередь, также является функцией и = φ(х) (определенной на множе­стве X с областью значений U), то заданная на множестве X функция у =f[φ(х)] называется сложной функцией.

6. Основные элементарные функции:

а) степенная функция у = хⁿ;

б) показательная функция у = а^х, а > 0, а ≠ 1

(Х = (-∞;+∞); Y = (0;+∞));

в) логарифмическая функция у = log _ax, а > 0, а ≠ 1

(Х = (0;+∞); Y = (-∞;+∞));

г) тригонометрические функции у=sin х, у = cos х, y= tg х, у = ctg x д) обратные тригонометрические функции у = arcsin x,y = arccos x,arctg x,arcctg x.

7. Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

S. Функция у = f(x) называется периодической с периодом Т ≠ 0,

eсли f(x⁺Т) ⁼f(x) для любых х е X.

9. Преобразования графиков:

a) y=f(x+a)- сдвигает график у =f(x) параллельно оси Ох на a единиц, (а > 0 — влево, а < 0 — вправо);

б) у f(x) + b - сдвигает график у = fix) параллельно оси Оу на b единиц (b>0 — вверх, b < 0 — вниз);

в)у ⁼ cf(x) (с ≠ 0) - растягивает в с раз (с > 1) или сжимает (0 < с < 1) графику =f(x) относительно оси Оу; при с < 0 симметрично отобра­жает график относительно оси Ох;

г) у =f(kx) (k≠0) — растягивает в k раз (k > 1) или сжимает (0 <k < 1) график у =f(x) относительно оси Ох; при k < 0 симметрично отобра­жает график относительно оси Оу. 10. Абсолютная величина (модуль) действительного числа х:

x,если х≥0 |x|= х,если х<0.

6. Пределы и непрерывность

1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число а_n то говорят, что задана числовая последовательность (а_n).

2. Число А называется пределом числовой последовательности (а_n )

если для любого ξ> 0 найдется такой номер N, зависящий от ξ, что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство

│a_n-A│<ξ(lim a_n=A

3. Число А называется пределом функции y=f(x) при х —> ∞ , если для любого ξ > 0 найдется также число S > О, зависящее от ξ, что для всех х таких, что |х| > S, будет верно неравенство │f(x)-A│<ξ (lim f(x)=A)

4. Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х —> х₀ (или х —> ∞ ), если lim а(х) = 0

6. Функция Fх) называется бесконечно большой величиной при х —> х₀, если для любого М > 0 найдется такое число δ > 0, зависяoщее от М, что для всех х #хо и удовлетворяющих условию |х - хо| < δ будет верно неравенство

│f(x)│>M(lim F(x)=∞.

Первый замечательный предел.

Lim sin x/x =1

u→0

Второй замечательный предел

Lim (1+1/x)^x=e

x→∞

lim (1+y)^1/y=e.

y→0

Раскрытие неопределенностей различных типов

Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместо независимой переменной может сразу привес­ти к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельно­го значения в функцию не дает значения предела, называют неопреде­ленностями; к ним относятся неопределенности видов

Устранить неопределенность удается часто с помощью алгебраи­ческих преобразований.