- •Тема 2: учет неопределенностей в теории принятия решений
- •2. Основные идеи математической статистики интервальных данных
- •3. Интервальные данные в задачах оценивания характеристик распределения
- •4. Интервальные данные в задачах проверки гипотез
- •5. Асимптотический линейный регрессионный анализ для интервальных данных
- •6. Интервальный дискриминантный анализ
- •8. Интервальный кластер-анализ
- •9. Место статистики интервальных данных (сид) среди методов описания неопределенностей
6. Интервальный дискриминантный анализ
Перейдем к задачам классификации в статистике интервальных данных. Как известно [27], важная их часть – задачи дискриминации (диагностики, распознавания образов с учителем). В этих задачах заданы классы (полностью или частично, с помощью обучающих выборок), и необходимо принять решение –к какому этих классов отнести вновь поступающий объект.
В линейном дискриминантном анализе правило принятия решений основано на линейной функцииf(x) от распознаваемого вектора Рассмотрим для простоты случай двух классов. Правило принятия решений определяется константой С – при f(x)>C распознаваемый объект относится к первому классу, при f(x)<C – ко второму.
В первоначальной вероятностной модели Р.Фишера предполагается, что классы заданы обучающими выборками объемов N1 и N2 соответственно из многомерных нормальных распределений с разными математическими ожиданиями, но одинаковыми ковариационными матрицами. В соответствии с леммой Неймана-Пирсона, дающей правило принятия решений при поверке статистических гипотез, дискриминантная функция является линейной. Для ее практического использования теоретические характеристики распределения необходимо заменить на выборочные. Тогда дискриминантная функция приобретает следующий вид
Здесь - выборочное среднее арифметическое по первой выборке а - выборочное среднее арифметическое по второй выборке В роли S может выступать любая состоятельная оценка общей для выборок ковариационной матрицы. Обычно используют следующую оценку, естественным образом сконструированную на основе выборочных ковариационных матриц:
В соответствии с подходом статистики интервальных данных считаем, что специалисту по анализу данных известны лишь значения с погрешностями
Таким образом, вместо f(x) статистик делает выводы на основе искаженной линейной дискриминантной функции f1(x), в которой коэффициенты рассчитаны не по исходным данным , а по искаженным погрешностями значениям .
На какие статистические процедуры влияют ошибки в исходных данных? Здесь тоже много постановок. Можно изучать влияние погрешностей измерений на значения дискриминантной функцииf, например, в той точке, куда попадает вновь поступающий объект х. Очевидно, случайная величинаf(x) имеет некоторое распределение, определяемое распределениями обучающих выборок. Выше описана модель Р.Фишера с нормально распределенными совокупностями. Однако реальные данные, как правило, не подчиняются нормальному распределению [27]. Тем не менее линейный статистический анализ имеет смысл и для распределений, не являющихся нормальными (при этом вместо свойств многомерного нормального распределения приходится опираться на многомерную центральную предельную теорему и теорему о наследовании сходимости [3]). В частности, приравняв метрологическую ошибку, вызванную погрешностями исходных данных, и статистическую ошибку, получим условие, определяющее рациональность объемов выборок. Здесь два объема выборок, а не один, как в большинстве рассмотренных постановок статистики интервальных данных. С подобным мы сталкивались ранее при рассмотрении двухвыборочного критерия Смирнова.
Естественно изучать влияние погрешностей исходных данных не при конкретном х, а для правила принятия решений в целом. Может представлять интерес изучение характеристик этого правила по всем х или по какому-либо отрезку. Более интересно рассмотреть показатель качества классификации, связанный с пересчетом на модель линейного дискриминантного анализа [27].
Математический аппарат изучения перечисленных моделей развит выше в предыдущих пунктах настоящей главы. Некоторые результаты приведены в [14]. Из-за большого объема выкладок ограничимся приведенными здесь замечаниями